Verifique se a afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se
e
são espaços vetoriais tais que
, então a transformação linear
é sobrejetora.
Se
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos espaços vetoriais
e
tais que
e uma transformação linear
. A pergunta é se isso implica que
é sobrejetora. Para analisar, vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo–Imagem).
Passo 2
O Teorema da Dimensão diz que, para qualquer transformação linear
, vale
Além disso, como
, temos
Passo 3
Se quiséssemos que
fosse sobrejetora, precisaríamos de
Porém, nada no enunciado impede que
seja estritamente menor que
. Por exemplo, considere
Então
, mas
de dimensão zero, logo
não é sobrejetora.
Passo 4
Concluímos que a afirmação é falsa porque existe pelo menos um contra-exemplo de transformação linear de um espaço de dimensão maior para um de dimensão menor que não seja sobrejetora.
Resposta
Falsa. Contra-exemplo: a aplicação nula
,
.