Verifique se a afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se U e V são espaços vetoriais tais que \operatorname{dim} U>\operatorname{dim} V, então a transformação linear T: U \rightarrow V é sobrejetora.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos espaços vetoriais U e V tais que \dim U>\dim V e uma transformação linear T:U\to V. A pergunta é se isso implica que T é sobrejetora. Para analisar, vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo–Imagem).

Passo 2

O Teorema da Dimensão diz que, para qualquer transformação linear T:U\to V, vale
\dim U = \dim\ker T + \dim\operatorname{im}T.
Além disso, como \operatorname{im}T\subseteq V, temos
\dim\operatorname{im}T \le \dim V.

Passo 3

Se quiséssemos que T fosse sobrejetora, precisaríamos de
\dim\operatorname{im}T = \dim V.
Porém, nada no enunciado impede que \dim\operatorname{im}T seja estritamente menor que \dim V. Por exemplo, considere
U=\mathbb{R}^2,\quad V=\mathbb{R}^1,\quad T(x,y)=(0).
Então \dim U=2>\dim V=1, mas \operatorname{im}T=\{0\} de dimensão zero, logo T não é sobrejetora.

Passo 4

Concluímos que a afirmação é falsa porque existe pelo menos um contra-exemplo de transformação linear de um espaço de dimensão maior para um de dimensão menor que não seja sobrejetora.

Resposta

Falsa. Contra-exemplo: a aplicação nula T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, (x,y)\mapsto0.

Exercícios relacionados