Determine a matriz da transformação lincar T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que primeiro faz uma rotação do \frac{-\pi}{4} radianos e depois reflete os vetores em relação ao eixo y. Determine a imagem do vetor \vec{u}= (5 / 4,-3 / 5). A transformação linear T é injetora? E sobrejetora?

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que faz primeiro uma rotação de -\pi/4 radianos e em seguida reflete no eixo y. Depois, devemos calcular T(\vec u) para \vec u=(5/4,\,-3/5) e verificar se T é injetora e/ou sobrejetora. O conteúdo é composição de transformações lineares com matrizes de rotação e de reflexão, e uso de determinante para testar injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

A matriz de rotação de -\pi/4 em \mathbb{R}^2 é
R = \begin{pmatrix} \cos(-\tfrac{\pi}{4}) & -\sin(-\tfrac{\pi}{4})\\[6pt] \sin(-\tfrac{\pi}{4}) & \cos(-\tfrac{\pi}{4}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2}\\[4pt] -\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

A matriz que reflete em relação ao eixo y manda (x,y)\mapsto(-x,y). Logo
F = \begin{pmatrix} -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Como primeiro rotacionamos e depois refletimos, a matriz de T é
M = F\,R = \begin{pmatrix}-1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt2}{2}&\tfrac{\sqrt2}{2}\\[4pt] -\tfrac{\sqrt2}{2}&\tfrac{\sqrt2}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{\sqrt2}{2} & -\tfrac{\sqrt2}{2}\\[4pt] -\tfrac{\sqrt2}{2} & \;\tfrac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \vec u=(5/4,\,-3/5) temos
T(\vec u) = M\begin{pmatrix}5/4\\[3pt]-3/5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{5}{4}\;+\;(-\tfrac{\sqrt2}{2})\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)\\[8pt] -\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{5}{4}\;+\;\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{5}\\[6pt] -\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{5} \end{pmatrix}\!\frac{\sqrt2}{2} = \begin{pmatrix} -\dfrac{13}{20}\,\frac{\sqrt2}{2}\\[6pt] -\dfrac{37}{20}\,\frac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{13\sqrt2}{40}\\[4pt] -\dfrac{37\sqrt2}{40} \end{pmatrix}.]

Passo 6

O determinante de M é
\det(M)=\det(F)\,\det(R)=(-1)\times1=-1\neq0.
Como \det(M)\neq0, T é invertível, logo é injetora e sobrejetora.

Resposta

A matriz de T é
\begin{pmatrix} -\tfrac{\sqrt2}{2} & -\tfrac{\sqrt2}{2}\\[4pt] -\tfrac{\sqrt2}{2} & \;\tfrac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix},
sendo
T\bigl(5/4,\,-3/5\bigr) =\bigl(-\tfrac{13\sqrt2}{40},\,-\tfrac{37\sqrt2}{40}\bigr),
e T é injetora e sobrejetora.]

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