Sejam \alpha=\left\{\vec{u}_{1}=(1,-1,0), \vec{u}_{2}=(-1,1,1), \vec{u}_{3}=(1,0,-1)\right\} e \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} bases do \mathbb{R}^{3} tais que \vec{v}_{1}=\vec{\imath}_{1}+\vec{\imath}_{3}, \vec{v}_{2}=\vec{\imath}_{1}-\vec{\imath}_{2}-2 \vec{\imath}_{3} e \vec{v}_{3}=-2 \vec{\imath}_{1}+\vec{\imath}_{3}.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base \alpha para a base \beta.
(b) Encontre [\vec{v}]_{\alpha} e [\vec{v}]_{\beta}, se \vec{v}=(2,1,-2).
Passo 1
O enunciado nos dá duas bases de \mathbb{R}^3: \alpha=\{\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3\} com \vec u_1=(1,-1,0), \vec u_2=(-1,1,1), \vec u_3=(1,0,-1),
e \beta=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} com \vec v_1=(1,0,1), \vec v_2=(1,-1,-2), \vec v_3=(-2,0,1),
além de um vetor \vec v=(2,1,-2).
Precisamos:
Determinar a matriz de mudança de base de \alpha para \beta, isto é, a matriz P tal que
[\vec x]_{\beta} \;=\; P\,[\vec x]_{\alpha}
para todo \vec x\in\mathbb{R}^3.
2. Calcular as coordenadas de \vec v nas duas bases: [\vec v]_{\alpha} e [\vec v]_{\beta}.
Para achar P, vamos expressar cada \vec u_j como combinação linear de \{\vec v_i\}, resolvendo sistemas da forma
Para achar [\vec v]_{\alpha}, escrevemos \vec v=(2,1,-2) como combinação de \{\vec u_i\}. Se \displaystyle U=\begin{pmatrix}1&-1&1\\\ -1&1&0\\\ 0&1&-1\end{pmatrix}
cujos colunas são \vec u_1,\vec u_2,\vec u_3, resolvemos