Sejam \alpha=\left\{\vec{u}_{1}=(1,-1,0), \vec{u}_{2}=(-1,1,1), \vec{u}_{3}=(1,0,-1)\right\} e \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} bases do \mathbb{R}^{3} tais que \vec{v}_{1}=\vec{\imath}_{1}+\vec{\imath}_{3}, \vec{v}_{2}=\vec{\imath}_{1}-\vec{\imath}_{2}-2 \vec{\imath}_{3} e \vec{v}_{3}=-2 \vec{\imath}_{1}+\vec{\imath}_{3}.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base \alpha para a base \beta.
(b) Encontre [\vec{v}]_{\alpha} e [\vec{v}]_{\beta}, se \vec{v}=(2,1,-2).

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de \mathbb{R}^3:
\alpha=\{\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3\} com
\vec u_1=(1,-1,0), \vec u_2=(-1,1,1), \vec u_3=(1,0,-1),
e
\beta=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} com
\vec v_1=(1,0,1), \vec v_2=(1,-1,-2), \vec v_3=(-2,0,1),
além de um vetor \vec v=(2,1,-2).
Precisamos:
  1. Determinar a matriz de mudança de base de \alpha para \beta, isto é, a matriz P tal que
[\vec x]_{\beta} \;=\; P\,[\vec x]_{\alpha}
para todo \vec x\in\mathbb{R}^3.
2. Calcular as coordenadas de \vec v nas duas bases: [\vec v]_{\alpha} e [\vec v]_{\beta}.
Para achar P, vamos expressar cada \vec u_j como combinação linear de \{\vec v_i\}, resolvendo sistemas da forma
\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \begin{pmatrix}c_1\c_2\c_3\end{pmatrix} = \vec u_j.

Passo 2

Montamos a matriz A cujas colunas são \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3 em coordenadas canônicas:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Para cada \vec u_j resolvemos A\mathbf c=\vec u_j e obtemos \mathbf c=[\vec u_j]_{\beta}. Essas coordenadas formam as colunas de P.

Passo 3

Expressão de \vec u_1=(1,-1,0)\). O sistema \[\begin{cases} c_1 + c_2 - 2c_3 = 1,\\\\ -\,c_2 = -1,\\\ c_1 - 2c_2 + c_3 = 0 \end{cases}
c_2=1\], de onde \(c_1=2c_3 e, pela terceira equação, 3c_3=2. Logo
c_3=\tfrac{2}{3},\quad c_1=\tfrac{4}{3}.

Passo 4

Expressão de \vec u_2=(-1,1,1)\). O sistema \[\begin{cases} c_1 + c_2 - 2c_3 = -1,\\\\ -\,c_2 = 1,\\\ c_1 - 2c_2 + c_3 = 1 \end{cases}
c_2=-1\], \(c_1=2c_3 e, da terceira, 3c_3=-1. Assim
c_3=-\tfrac{1}{3},\quad c_1=-\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Expressão de \vec u_3=(1,0,-1)\). O sistema \[\begin{cases} c_1 + c_2 - 2c_3 = 1,\\\\ -\,c_2 = 0,\\\ c_1 - 2c_2 + c_3 = -1 \end{cases}
c_2=0\], e resolvendo \(c_1=2c_3, c_1+c_3=-1 obtemos
c_3=-\tfrac{2}{3},\quad c_1=-\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Agora montamos a matriz de mudança de base P cujas colunas são [\vec u_1]_{\beta}, [\vec u_2]_{\beta}, [\vec u_3]_{\beta}:
P = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\\\ 1 & -1 & 0\\\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.

Passo 7

Para achar [\vec v]_{\alpha}, escrevemos \vec v=(2,1,-2) como combinação de \{\vec u_i\}. Se
\displaystyle U=\begin{pmatrix}1&-1&1\\\ -1&1&0\\\ 0&1&-1\end{pmatrix}
cujos colunas são \vec u_1,\vec u_2,\vec u_3, resolvemos
U\begin{pmatrix}d_1\d_2\d_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.
O sistema resulta em
d_1=0,\quad d_2=1,\quad d_3=3,
isto é [\vec v]_{\alpha}=(0,1,3)^{T}.

Passo 8

Para achar [\vec v]_{\beta}, resolvemos
A\begin{pmatrix}e_1\e_2\e_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}
com a mesma matriz A do Passo 2. O sistema dá
e_2=-1,\quad e_3=-\tfrac{7}{3},\quad e_1=-\tfrac{5}{3},
isto é [\vec v]_{\beta}=(-\tfrac{5}{3},-1,-\tfrac{7}{3})^{T}.

Resposta

(a) A matriz de mudança de base de \alpha para \beta é
P = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\\\ 1 & -1 & 0\\\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.
(b)
[\vec v]_{\alpha} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix},\qquad [\vec v]_{\beta} = \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{3}\\\ -1\\\ -\tfrac{7}{3}\end{pmatrix}.

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