Seja A=\left(\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 4 & b & 2\end{array}\right). Que condições devem satisfazer a e b para que A admita autovalor zero?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & a & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 4 & b & 2\end{pmatrix}
e pede: quais condições os números a e b devem satisfazer para que A admita o autovalor zero?
Informações relevantes: os únicos parâmetros desconhecidos são a e b; as demais entradas são números explícitos.]

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: um número \lambda é autovalor de uma matriz A se, e somente se,
\det(A-\lambda I)=0.
No caso \lambda=0 isso fica simplesmente
\det(A)=0.
Ou seja, para que A admita autovalor zero precisamos que o determinante de A seja zero. Agora vamos calcular \det(A).

Passo 3

Método escolhido: expansão por cofatores (expansão pela primeira linha). A fórmula geral para o desenvolvimento pela primeira linha é
\det(A)=\sum_{j=1}^{3}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(M_{1j}),
onde a_{1j} é o elemento da primeira linha e M_{1j} é a matriz 2\times2 obtida eliminando a primeira linha e a coluna j. Vou calcular cada termo separadamente para não pular etapas.

Passo 4

Primeiro termo (coluna 1): a_{11}=2. O menor M_{11} é a matriz formada pelas linhas 2 e 3 e colunas 2 e 3:
M_{11}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] b & 2\end{pmatrix}.
O determinante desse 2\times2 é
\det(M_{11})=1\cdot 2 - 2\cdot b = 2 - 2b.
A contribuição ao determinante de A é
(+1)\cdot 2\cdot(2-2b)=2(2-2b).]

Passo 5

Segundo termo (coluna 2): a_{12}=a. O menor M_{12} é
M_{12}=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 4 & 2\end{pmatrix}.
O determinante desse menor é
\det(M_{12})=0\cdot 2 - 2\cdot 4 = -8.
O sinal da cofator para a posição (1,2) é (-1)^{1+2}=-1, portanto a contribuição é
- a \cdot \det(M_{12}) = -a\cdot(-8)=8a.]

Passo 6

Terceiro termo (coluna 3): a_{13}=1. O menor M_{13} é
M_{13}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 4 & b\end{pmatrix}.
O determinante desse menor é
\det(M_{13})=0\cdot b - 1\cdot 4 = -4.
O sinal da cofator para (1,3) é (-1)^{1+3}=+1, então a contribuição é
+1\cdot(-4) = -4.]

Passo 7

Somando as três contribuições obtemos \det(A):
\det(A)=2(2-2b)+8a-4.
Agora simplificamos passo a passo:
2(2-2b)=4-4b,
então
\det(A)=4-4b+8a-4 = 8a-4b.
Fatorando 4 fica
\det(A)=4(2a-b).

Passo 8

Para que 0 seja autovalor precisamos de \det(A)=0. Assim
4(2a-b)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2a-b=0.
Daí obtemos a relação entre a e b:
b=2a.

Resposta

b=2a

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