Seja A=\left(\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 4 & b & 2\end{array}\right). Que condições devem satisfazer a e b para que A admita autovalor zero?
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & a & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 4 & b & 2\end{pmatrix}
e pede: quais condições os números a e b devem satisfazer para que A admita o autovalor zero?
Informações relevantes: os únicos parâmetros desconhecidos são a e b; as demais entradas são números explícitos.]
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: um número \lambda é autovalor de uma matriz A se, e somente se,
\det(A-\lambda I)=0.
No caso \lambda=0 isso fica simplesmente
\det(A)=0.
Ou seja, para que A admita autovalor zero precisamos que o determinante de A seja zero. Agora vamos calcular \det(A).
Passo 3
Método escolhido: expansão por cofatores (expansão pela primeira linha). A fórmula geral para o desenvolvimento pela primeira linha é
onde a_{1j} é o elemento da primeira linha e M_{1j} é a matriz 2\times2 obtida eliminando a primeira linha e a coluna j. Vou calcular cada termo separadamente para não pular etapas.
Passo 4
Primeiro termo (coluna 1): a_{11}=2. O menor M_{11} é a matriz formada pelas linhas 2 e 3 e colunas 2 e 3:
M_{11}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] b & 2\end{pmatrix}.
O determinante desse 2\times2 é
\det(M_{11})=1\cdot 2 - 2\cdot b = 2 - 2b.
A contribuição ao determinante de A é
(+1)\cdot 2\cdot(2-2b)=2(2-2b).]
Passo 5
Segundo termo (coluna 2): a_{12}=a. O menor M_{12} é