Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{ll} 3 & -1 \\\\ 1 & -2 \end{array}\right)
Dado o vetor inicial x^{(0)}=(-1,1)^{T}, aplicando o método das potências, encontre as aproximações \lambda^{(k)} e x^{(k)}, até a iteração k=4, para o autovalor dominante \lambda_{1} e o respectivo autovetor v^{(1)} da matríz A.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}
e o vetor inicial
x^{(0)}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
O que é pedido: aplicar o método das potências e obter, para o autovalor dominante \lambda_{1} e seu autovetor associado v^{(1)}, as aproximações \lambda^{(k)} e x^{(k)} até a iteração k=4.\n
Todas as informações relevantes do enunciado estão acima: a matriz A e o vetor inicial x^{(0)}. A resolução começa no Passo 2.]

Passo 2

Vou explicar, passo a passo e com calma, o método das potências que vou usar. A ideia é simples: se uma matriz A tem um autovalor dominante (isto é, um autovalor com módulo estritamente maior que os demais), então multiplicar repetidamente um vetor qualquer por A faz com que a direção do produto tenda à direção do autovetor associado ao autovalor dominante.\n
Algoritmo prático (versão que usarei; é a mais comum e fácil de aplicar à mão):
  1. Dado x^{(k-1)}, calcular y^{(k)} = A\,x^{(k-1)}.\n
  2. Escolher uma constante de escala c_k igual à componente de maior módulo de y^{(k)} (norma infinito), isto é,
c_k=\max_{i}|y^{(k)}_i|.
  1. Normalizar definindo
x^{(k)}=\frac{y^{(k)}}{c_k}.
  1. Tomar a aproximação do autovalor dominante como \lambda^{(k)}=c_k.\n
    Por que escolhi esta versão? Porque é a versão elementar do método das potências (normalização pela componente de maior valor absoluto). Ela é fácil de calcular à mão (não exige divisão por produto escalar etc.) e é suficiente para obter as aproximações pedidas até k=4.\n
    Observação didática rápida: o autovetor estimado é dado pela direção de x^{(k)}. Note que x^{(k)} pode trocar de sinal a cada iteração (isso não é problema, pois autovetores são definidos até multiplicação por escalares).

Passo 3

Calculemos y^{(1)}=A\,x^{(0)}.\n
Elemento a elemento:
y^{(1)}_1=3\cdot(-1)+(-1)\cdot 1 = -3-1=-4,
y^{(1)}_2=1\cdot(-1)+(-2)\cdot 1 = -1-2=-3.
Logo
y^{(1)}=\begin{pmatrix}-4 \\[4pt] -3\end{pmatrix}.
A constante de escala é a componente de maior módulo:
c_1=\max\{|{-4}|,|{-3}|\}=4.
Normalizando:
x^{(1)}=\frac{y^{(1)}}{c_1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-4 \\[4pt] -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] -\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}.
E a aproximação do autovalor dominante nesta iteração é
\lambda^{(1)}=c_1=4.]

Passo 4

Agora y^{(2)}=A\,x^{(1)}.\n
Com x^{(1)}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] -\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}, temos
y^{(2)}_1=3\cdot(-1)+(-1)\cdot\left(-\tfrac{3}{4}\right) = -3 + \tfrac{3}{4} = -\tfrac{9}{4},
y^{(2)}_2=1\cdot(-1)+(-2)\cdot\left(-\tfrac{3}{4}\right) = -1 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}.
Logo
y^{(2)}=\begin{pmatrix} -\tfrac{9}{4} \\[4pt] \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Escala:
c_2=\max\left\{\left|-\tfrac{9}{4}\right|,\left|\tfrac{1}{2}\right|\right\}=\tfrac{9}{4}.
Normalizando:
x^{(2)}=\frac{y^{(2)}}{c_2}=\frac{1}{9/4}\begin{pmatrix} -\tfrac{9}{4} \\[4pt] \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] \dfrac{1/2}{9/4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\[6pt] \dfrac{2}{9}\end{pmatrix}.
Aproximação do autovalor:
\lambda^{(2)}=c_2=\tfrac{9}{4}=2{,}25.]

Passo 5

Calcule y^{(3)}=A\,x^{(2)} com x^{(2)}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] \tfrac{2}{9}\end{pmatrix}.\n
Componentes:
y^{(3)}_1=3\cdot(-1)+(-1)\cdot\left(\tfrac{2}{9}\right) = -3 - \tfrac{2}{9} = -\tfrac{29}{9},
y^{(3)}_2=1\cdot(-1)+(-2)\cdot\left(\tfrac{2}{9}\right) = -1 - \tfrac{4}{9} = -\tfrac{13}{9}.
Então
y^{(3)}=\begin{pmatrix}-\tfrac{29}{9} \\[4pt] -\tfrac{13}{9}\end{pmatrix}.
Escala:
c_3=\max\left\{\left|-\tfrac{29}{9}\right|,\left|-\tfrac{13}{9}\right|\right\}=\tfrac{29}{9}.
Normalizando:
x^{(3)}=\frac{y^{(3)}}{c_3}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] -\dfrac{13}{29}\end{pmatrix}.
Aproximação do autovalor:
\lambda^{(3)}=c_3=\tfrac{29}{9}\approx 3{,}222\ldots]

Passo 6

Finalmente y^{(4)}=A\,x^{(3)} com x^{(3)}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] -\tfrac{13}{29}\end{pmatrix}.\n
Componentes:
y^{(4)}_1=3\cdot(-1)+(-1)\cdot\left(-\tfrac{13}{29}\right) = -3 + \tfrac{13}{29} = -\tfrac{87-13}{29} = -\tfrac{74}{29},
y^{(4)}_2=1\cdot(-1)+(-2)\cdot\left(-\tfrac{13}{29}\right) = -1 + \tfrac{26}{29} = -\tfrac{29-26}{29} = -\tfrac{3}{29}.
Então
y^{(4)}=\begin{pmatrix}-\tfrac{74}{29} \\[4pt] -\tfrac{3}{29}\end{pmatrix}.
Escala:
c_4=\max\left\{\left|-\tfrac{74}{29}\right|,\left|-\tfrac{3}{29}\right|\right\}=\tfrac{74}{29}.
Normalizando:
x^{(4)}=\frac{y^{(4)}}{c_4}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] -\dfrac{3}{74}\end{pmatrix}.
Aproximação do autovalor:
\lambda^{(4)}=c_4=\tfrac{74}{29}\approx 2{,}5517\ldots]

Passo 7

Um comentário final e motivador: o método das potências costuma oscilar nas estimativas das primeiras iterações (como vimos: 4,\;2{,}25,\;3{,}222,\;2{,}5517\ldots) mas a sequência tende ao autovalor dominante. Se quisermos verificar o valor exato do autovalor dominante, podemos resolver o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-\lambda-5=0,
cujas raízes são
\lambda=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}.
A raiz dominante é
\lambda_1=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\approx 2{,}7913,
e as aproximações obtidas nas iterações estão convergindo para esse valor. O autovetor associado tem proporção entre as componentes próxima de v_2/v_1=3-\lambda_1\approx 0{,}2087 (ou seja, direção aproximada (1,0{,}2087)); nossos x^{(k)} dão essa direção em processo de convergência.

Resposta

\lambda^{(1)}=4,\quad x^{(1)}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] -\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}\n
\lambda^{(2)}=\tfrac{9}{4}=2{,}25,\quad x^{(2)}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] \tfrac{2}{9}\end{pmatrix}\n
\lambda^{(3)}=\tfrac{29}{9}\approx 3{,}222\ldots,\quad x^{(3)}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] -\tfrac{13}{29}\end{pmatrix}\n
\lambda^{(4)}=\tfrac{74}{29}\approx 2{,}5517\ldots,\quad x^{(4)}=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] -\tfrac{3}{74}\end{pmatrix}]

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