Dado o vetor inicial x^{(0)}=(-1,1)^{T}, aplicando o método das potências, encontre as aproximações \lambda^{(k)} e x^{(k)}, até a iteração k=4, para o autovalor dominante \lambda_{1} e o respectivo autovetor v^{(1)} da matríz A.
O que é pedido: aplicar o método das potências e obter, para o autovalor dominante \lambda_{1} e seu autovetor associado v^{(1)}, as aproximações \lambda^{(k)} e x^{(k)} até a iteração k=4.\n
Todas as informações relevantes do enunciado estão acima: a matriz A e o vetor inicial x^{(0)}. A resolução começa no Passo 2.]
Passo 2
Vou explicar, passo a passo e com calma, o método das potências que vou usar. A ideia é simples: se uma matriz A tem um autovalor dominante (isto é, um autovalor com módulo estritamente maior que os demais), então multiplicar repetidamente um vetor qualquer por A faz com que a direção do produto tenda à direção do autovetor associado ao autovalor dominante.\n
Algoritmo prático (versão que usarei; é a mais comum e fácil de aplicar à mão):
Escolher uma constante de escala c_k igual à componente de maior módulo de y^{(k)} (norma infinito), isto é,
c_k=\max_{i}|y^{(k)}_i|.
Normalizar definindo
x^{(k)}=\frac{y^{(k)}}{c_k}.
Tomar a aproximação do autovalor dominante como \lambda^{(k)}=c_k.\n
Por que escolhi esta versão? Porque é a versão elementar do método das potências (normalização pela componente de maior valor absoluto). Ela é fácil de calcular à mão (não exige divisão por produto escalar etc.) e é suficiente para obter as aproximações pedidas até k=4.\n
Observação didática rápida: o autovetor estimado é dado pela direção de x^{(k)}. Note que x^{(k)} pode trocar de sinal a cada iteração (isso não é problema, pois autovetores são definidos até multiplicação por escalares).
Passo 3
Calculemos y^{(1)}=A\,x^{(0)}.\n
Elemento a elemento:
Um comentário final e motivador: o método das potências costuma oscilar nas estimativas das primeiras iterações (como vimos: 4,\;2{,}25,\;3{,}222,\;2{,}5517\ldots) mas a sequência tende ao autovalor dominante. Se quisermos verificar o valor exato do autovalor dominante, podemos resolver o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-\lambda-5=0,
cujas raízes são
\lambda=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}.
A raiz dominante é
\lambda_1=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\approx 2{,}7913,
e as aproximações obtidas nas iterações estão convergindo para esse valor. O autovetor associado tem proporção entre as componentes próxima de v_2/v_1=3-\lambda_1\approx 0{,}2087 (ou seja, direção aproximada (1,0{,}2087)); nossos x^{(k)} dão essa direção em processo de convergência.