Encontre a decomposição QR da matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -8 \\\\ 1 & 4 & -7 \\\\ 2 & -10 & 7 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -8 \\\\ 1 & 4 & -7 \\\\ 2 & -10 & 7 \end{pmatrix}
e pede a decomposição QR, ou seja, encontrar matrizes Q e R tais que
A=QR,
onde Q tem colunas ortonormais (ou seja, Q^{T}Q=I) e R é triangular superior. As informações relevantes são os elementos de A (listados acima) e o objetivo de produzir Q e R.

Passo 2

Vamos trabalhar com as colunas de A. Denotarei
a_{1}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix},\qquad a_{2}=\begin{pmatrix}-1\\\ 4\\\ -10\end{pmatrix},\qquad a_{3}=\begin{pmatrix}-8\\\ -7\\\ 7\end{pmatrix}.
A ideia é ortonormalizar essas colunas (Gram–Schmidt) para obter as colunas q_{1},q_{2},q_{3} de Q. Antes de calcular, lembro duas fórmulas básicas que usarei:
\text{produto interno: } \langle x,y\rangle = x^{T}y = \sum x_i y_i,
\text{norma: } \|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle},
\text{projeção de }v\text{ sobre }u\text{ (com }u\text{ unitário): } \operatorname{proj}_{u}(v)=(u^{T}v)\,u.çãá

Passo 3

Primeiro vetor:
u_{1}=a_{1}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.
Calculo da norma:
\|u_{1}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Normalizando:
q_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2/3\\\ 1/3\\\ 2/3\end{pmatrix}.
Comentário didático: dividir pelo comprimento deixa q_{1} com norma 1, que é o que queremos para colunas de Q.

Passo 4

Agora removemos a componente de a_{2} na direção de q_{1}. Primeiro calculo o coeficiente r_{12}=q_{1}^{T}a_{2}:
q_{1}^{T}a_{2}=\frac{2}{3}\cdot(-1)+\frac{1}{3}\cdot 4+\frac{2}{3}\cdot(-10)=\frac{-2+4-20}{3}=\frac{-18}{3}=-6.
A projeção de a_{2} sobre q_{1} é (-6)q_{1}. Então
u_{2}=a_{2}-(-6)q_{1}=a_{2}+6q_{1}= \begin{pmatrix}-1\\\ 4\\\ -10\end{pmatrix}+6\begin{pmatrix}2/3\\\ 1/3\\\ 2/3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1\\\ 4\\\ -10\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\\ 6\\\ -6\end{pmatrix}.
Explicação: u_{2} é o componente de a_{2} ortogonal a q_{1}.

Passo 5

Normalizo u_{2} para obter q_{2}. Norma de u_{2}:
\|u_{2}\|=\sqrt{3^{2}+6^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{9+36+36}=\sqrt{81}=9.
Assim
q_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}3\\\ 6\\\ -6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/3\\\ 2/3\\\ -2/3\end{pmatrix}.
Observação: q_{2} é unitário e, por construção, ortogonal a q_{1}.

Passo 6

Agora removemos de a_{3} as projeções sobre q_{1} e q_{2}. Primeiro os coeficientes:
r_{13}=q_{1}^{T}a_{3}=\frac{2}{3}\cdot(-8)+\frac{1}{3}\cdot(-7)+\frac{2}{3}\cdot 7 =\frac{-16-7+14}{3}=\frac{-9}{3}=-3.
r_{23}=q_{2}^{T}a_{3}=\frac{1}{3}\cdot(-8)+\frac{2}{3}\cdot(-7)+\frac{-2}{3}\cdot 7 =\frac{-8-14-14}{3}=\frac{-36}{3}=-12.
As projeções são r_{13}q_{1} e r_{23}q_{2}. Então
u_{3}=a_{3}-r_{13}q_{1}-r_{23}q_{2} =\begin{pmatrix}-8\\\ -7\\\ 7\end{pmatrix}-(-3)q_{1}-(-12)q_{2} =\begin{pmatrix}-8\\\ -7\\\ 7\end{pmatrix}+3q_{1}+12q_{2}.
Calculo explícito (primeiro somando as projeções para subtrair):
r_{13}q_{1} = -3\begin{pmatrix}2/3\\\ 1/3\\\ 2/3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix},
r_{23}q_{2} = -12\begin{pmatrix}1/3\\\ 2/3\\\ -2/3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\\ -8\\\ 8\end{pmatrix}.
Então r_{13}q_{1}+r_{23}q_{2}=\begin{pmatrix}-6\\\ -9\\\ 6\end{pmatrix} e
u_{3}=\begin{pmatrix}-8\\\ -7\\\ 7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-6\\\ -9\\\ 6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 7

Normalize u_{3} para obter q_{3}. Norma:
\|u_{3}\|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.
Logo
q_{3}=\frac{u_{3}}{\|u_{3}\|}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-2\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2/3\\\ 2/3\\\ 1/3\end{pmatrix}.
Agora temos as três colunas ortonormais q_{1},q_{2},q_{3}.

Passo 8

Monte a matriz Q com essas colunas e a matriz R com os coeficientes r_{ij}=q_{i}^{T}a_{j} (os r_{ii} são as normas \|u_{i}\| calculadas):
Q=\begin{pmatrix} 2/3 & 1/3 & -2/3\\[4pt] 1/3 & 2/3 & 2/3\\[4pt] 2/3 & -2/3 & 1/3 \end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13}\\[4pt] 0 & r_{22} & r_{23}\\[4pt] 0 & 0 & r_{33} \end{pmatrix}.
Substituindo os valores que calculamos:
r_{11}=\|u_{1}\|=3,\quad r_{12}=q_{1}^{T}a_{2}=-6,\quad r_{13}=q_{1}^{T}a_{3}=-3,
r_{22}=\|u_{2}\|=9,\quad r_{23}=q_{2}^{T}a_{3}=-12,\quad r_{33}=\|u_{3}\|=3.
Portanto
R=\begin{pmatrix} 3 & -6 & -3\\[4pt] 0 & 9 & -12\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (didática): por construção Q tem colunas unitárias e mutuamente ortogonais, e A=QR (cada coluna de A é combinação a_{j}=\sum_{i} r_{ij} q_{i}).]

Resposta

Q=\begin{pmatrix} 2/3 & 1/3 & -2/3\\[4pt] 1/3 & 2/3 & 2/3\\[4pt] 2/3 & -2/3 & 1/3 \end{pmatrix}
R=\begin{pmatrix} 3 & -6 & -3\\[4pt] 0 & 9 & -12\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}]

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