Aplique o método QR , com 2 iterações, à matriz
A=\left(\begin{array}{cc} 7 & -12 \\\\ 2 & -3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o método QR (iterações do algoritmo QR) à matriz
A=\begin{pmatrix}7 & -12 \\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}
fazendo exatamente 2 iterações.
Informações dadas que vamos usar: as colunas de A são
a_1=\begin{pmatrix}7\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad a_2=\begin{pmatrix}-12\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
O que queremos obter em cada iteração: fatorar A_k = Q_k R_k (com Q_k ortogonal e R_k triangular superior) e construir A_{k+1}=R_k Q_k. Vamos fazer isso duas vezes: obter A_1 e depois A_2. No final devo entregar o resultado após a segunda iteração.]

Passo 2

Rápida explicação didática do método QR (Gram–Schmidt, 2×2):
  • Dada uma matriz M de ordem 2, escrevemos suas colunas \,m_1,m_2.
  • Construímos vetores ortogonais: u_1 = m_1,\qquad q_1=\frac{u_1}{\|u_1\|},
r_{12}=q_1^{T}m_2,\qquad u_2=m_2-r_{12}q_1,\qquad q_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}.
  • Com isso montamos Q=\begin{pmatrix}q_1 & q_2\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}\|u_1\| & r_{12}\\[4pt]0 & \|u_2\|\end{pmatrix},e então A é fatorada como A=QR. No algoritmo QR usamos a similitude A \mapsto A_1 = R Q,que preserva autovalores e, iterando, tende a triangularizar a matriz (no caso 2\times2, aproxima os autovalores nos elementos diagonais).
Vou aplicar esse procedimento detalhadamente à nossa A (primeira iteração) e depois repetir para A_1 (segunda iteração). Em cada passo vou explicar cada quantidade.]

Passo 3

Primeira iteração: fatoração A = Q_1 R_1 por Gram–Schmidt.
  1. Primeiro vetor:
u_1 = a_1 = \begin{pmatrix}7\\[4pt]2\end{pmatrix}, \qquad \|u_1\| = \sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{49+4}=\sqrt{53}.
Logo
q_1 = \frac{1}{\sqrt{53}}\begin{pmatrix}7\\[4pt]2\end{pmatrix}.
  1. Projeção de a_2 sobre q_1:
r_{12} = q_1^T a_2 = \frac{1}{\sqrt{53}}\begin{pmatrix}7 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-12\\[4pt]-3\end{pmatrix} = \frac{-84-6}{\sqrt{53}}=\frac{-90}{\sqrt{53}}.
  1. Segundo vetor ortogonal:
u_2 = a_2 - r_{12} q_1 = \begin{pmatrix}-12\\[4pt]-3\end{pmatrix} - \frac{-90}{\sqrt{53}}\cdot\frac{1}{\sqrt{53}}\begin{pmatrix}7\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12\\[4pt]-3\end{pmatrix} + \frac{90}{53}\begin{pmatrix}7\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Calculemos explicitamente (frações):
u_2 = \begin{pmatrix}-12 + \dfrac{630}{53}\\[6pt] -3 + \dfrac{180}{53}\end{pmatrix} = \dfrac{1}{53}\begin{pmatrix}-636+630\\[4pt]-159+180\end{pmatrix} = \dfrac{1}{53}\begin{pmatrix}-6\\[4pt]21\end{pmatrix} = \dfrac{3}{53}\begin{pmatrix}-2\\[4pt]7\end{pmatrix}.
  1. Norma de u_2:
\|u_2\| = \frac{3}{53}\sqrt{(-2)^2+7^2}=\frac{3}{53}\sqrt{4+49}=\frac{3}{53}\sqrt{53}=\frac{3}{\sqrt{53}}.
Portanto
q_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{\dfrac{3}{53}\begin{pmatrix}-2\\[4pt]7\end{pmatrix}}{\dfrac{3}{\sqrt{53}}} = \frac{1}{\sqrt{53}}\begin{pmatrix}-2\\[4pt]7\end{pmatrix}.
  1. Montando Q_1 e R_1:
Q_1 = \frac{1}{\sqrt{53}}\begin{pmatrix}7 & -2\\[4pt]2 & 7\end{pmatrix}, \qquad R_1 = \begin{pmatrix}\sqrt{53} & -\dfrac{90}{\sqrt{53}}\\[8pt]0 & \dfrac{3}{\sqrt{53}}\end{pmatrix}.
(Verificação: R_1 = Q_1^{T}A, confere com os valores calculados.)]

Passo 4

Compute A_1 = R_1 Q_1. Faço a multiplicação com as expressões acima:
Usando as formas em frações obtém-se (simplificando um fator comum 1/53):
A_1 = \frac{1}{53}\begin{pmatrix}191 & -736\\[4pt]6 & 21\end{pmatrix}.
Para referência numérica (útil para a próxima iteração):
A_1 \approx \begin{pmatrix} \dfrac{191}{53} & \dfrac{-736}{53}\\[6pt] \dfrac{6}{53} & \dfrac{21}{53} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}3{,}6037736 & -13{,}8867925\\[4pt]0{,}11320755 & 0{,}39622642\end{pmatrix}.
Interpretação rápida: já vemos que o elemento inferior esquerdo é pequeno ( 0{,}113), o que indica a convergência para uma matriz triangular (os autovalores aparecem na diagonal conforme iteramos).]

Passo 5

Segunda iteração: fatoração A_1 = Q_2 R_2. Agora aplicamos Gram–Schmidt às colunas de A_1. Para simplificar a aritmética eu uso as formas numéricas aproximadas das colunas de A_1:
Colunas:
b_1=\begin{pmatrix}3{,}6037736\\[4pt]0{,}11320755\end{pmatrix}, \qquad b_2=\begin{pmatrix}-13{,}8867925\\[4pt]0{,}39622642\end{pmatrix}.
  1. Norma de b_1:
r_{11}=\|b_1\|=\sqrt{(3{,}6037736)^2+(0{,}11320755)^2}\approx 3{,}6061210.
Então
q_1^{(2)} = \frac{1}{r_{11}} b_1 \approx \begin{pmatrix}0{,}999349\\[4pt]0{,}031389\end{pmatrix}.
  1. Projeção e u_2:
r_{12} = (q_1^{(2)})^{T} b_2 \approx -13{,}865600,
u_2 = b_2 - r_{12} q_1^{(2)} \approx \begin{pmatrix}-0{,}0299\\[4pt]0{,}831626\end{pmatrix}.
  1. Norma e q_2^{(2)}:
r_{22}=\|u_2\|\approx 0{,}832300,\qquad q_2^{(2)} = \frac{u_2}{r_{22}}\approx \begin{pmatrix}-0{,}03594\\[4pt]0{,}99936\end{pmatrix}.
Assim obtemos aproximadamente
Q_2 \approx \begin{pmatrix}0{,}999349 & -0{,}03594\\[4pt]0{,}031389 & 0{,}99936\end{pmatrix}, \qquad R_2 \approx \begin{pmatrix}3{,}6061210 & -13{,}865600\\[4pt]0 & 0{,}832300\end{pmatrix}.
(Obs.: aqui usei aproximações decimais para facilitar os cálculos à mão — os passos algébricos são os mesmos que na iteração anterior; os números exatos são muito longos, por isso a aproximação.)]

Passo 6

Agora construímos A_2 = R_2 Q_2. Multiplicando as matrizes aproximadas do passo anterior obtemos:
A_2 = R_2 Q_2 \approx \begin{pmatrix} 3{,}168463 & -13{,}986620\\[6pt] 0{,}026124 & 0{,}831780 \end{pmatrix}.
Resultado interpretado: após duas iterações o elemento inferior esquerdo diminuiu muito (já cerca de 0{,}026), e a matriz está cada vez mais próxima de uma triangular superior cujo elementos diagonais aproximam os autovalores de A.]

Resposta

A_2 \approx \begin{pmatrix}3{,}168463 & -13{,}986620\\[6pt]0{,}026124 & 0{,}831780\end{pmatrix}]

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