O que queremos obter em cada iteração: fatorar A_k = Q_k R_k (com Q_k ortogonal e R_k triangular superior) e construir A_{k+1}=R_k Q_k. Vamos fazer isso duas vezes: obter A_1 e depois A_2. No final devo entregar o resultado após a segunda iteração.]
Passo 2
Rápida explicação didática do método QR (Gram–Schmidt, 2×2):
Dada uma matriz M de ordem 2, escrevemos suas colunas \,m_1,m_2.
Com isso montamosQ=\begin{pmatrix}q_1 & q_2\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}\|u_1\| & r_{12}\\[4pt]0 & \|u_2\|\end{pmatrix},e então A é fatorada como A=QR. No algoritmo QR usamos a similitudeA \mapsto A_1 = R Q,que preserva autovalores e, iterando, tende a triangularizar a matriz (no caso 2\times2, aproxima os autovalores nos elementos diagonais).
Vou aplicar esse procedimento detalhadamente à nossa A (primeira iteração) e depois repetir para A_1 (segunda iteração). Em cada passo vou explicar cada quantidade.]
Passo 3
Primeira iteração: fatoração A = Q_1 R_1 por Gram–Schmidt.
Interpretação rápida: já vemos que o elemento inferior esquerdo é pequeno (0{,}113), o que indica a convergência para uma matriz triangular (os autovalores aparecem na diagonal conforme iteramos).]
Passo 5
Segunda iteração: fatoração A_1 = Q_2 R_2. Agora aplicamos Gram–Schmidt às colunas de A_1. Para simplificar a aritmética eu uso as formas numéricas aproximadas das colunas de A_1:
(Obs.: aqui usei aproximações decimais para facilitar os cálculos à mão — os passos algébricos são os mesmos que na iteração anterior; os números exatos são muito longos, por isso a aproximação.)]
Passo 6
Agora construímos A_2 = R_2 Q_2. Multiplicando as matrizes aproximadas do passo anterior obtemos:
Resultado interpretado: após duas iterações o elemento inferior esquerdo diminuiu muito (já cerca de 0{,}026), e a matriz está cada vez mais próxima de uma triangular superior cujo elementos diagonais aproximam os autovalores de A.]