Determine, caso existam, os valores de a \in \mathbb{R} para que o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x+y-a z=0 \\\ a x+y-z=2-a \\\ x+a y-z=-a \end{array}\right.
tenha solução única.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em (x,y,z) dependente do parâmetro real a:
\begin{cases} x + y - a z = 0,\\\ a x + y - z = 2 - a,\\\ x + a y - z = -a. \end{cases}
O conteúdo é sistemas lineares com parâmetro e o critério para existência de solução única é que a matriz dos coeficientes seja invertível, ou seja, que seu determinante seja diferente de zero.

Passo 2

Vamos escrever a matriz dos coeficientes M:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a\\\ a & 1 & -1\\\\ 1 & a & -1 \end{pmatrix}.
Para ter solução única, precisamos de
\det(M)\neq 0.

Passo 3

Calculamos \det(M) expandindo pela primeira linha:
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&-1\a&-1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}a&-1\\\ 1&-1\end{pmatrix} +(-a)\cdot\det\begin{pmatrix}a&1\\\ 1&a\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}1&-1\a&-1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-(-1)\cdot a = -1 + a = a-1,
\det\begin{pmatrix}a&-1\\\ 1&-1\end{pmatrix} =a\cdot(-1)-(-1)\cdot1 = -a+1 = 1-a,
\det\begin{pmatrix}a&1\\\ 1&a\end{pmatrix} =a\cdot a - 1\cdot1 = a^2 - 1.
Substituindo:
\det(M) =(a-1) - (1-a) + (-a)(a^2-1) =(a-1)-(1-a)-a^3 + a =2a-2 -a^3 + a =-a^3 +3a -2.

Passo 4

Fatoramos o polinômio cúbico:
-a^3 +3a -2 = -(a^3 -3a +2).
Testando uma raiz racional, a=1 anula a^3-3a+2, e faz
a^3 -3a +2 = (a-1)(a^2 + a -2) = (a-1)(a-1)(a+2) = (a-1)^2(a+2).
Logo
\det(M) = -(a-1)^2(a+2).

Passo 5

Para ter solução única é preciso
\det(M)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -(a-1)^2(a+2)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (a-1)^2(a+2)\neq 0.
Isso acontece sempre que a\neq 1 e a\neq -2.

Resposta

Os valores de a que garantem solução única são
a\in\mathbb{R}\setminus\{1,-2\}.

Exercícios relacionados