Verifique se o operador linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dado por
T(x, y, z, t)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z,-t)
é diagonalizável e, caso seja, determine uma representação diagonal, ou seja, uma matriz diagonal D \in M_{4}(\mathbb{R}) que representa o operador T e uma base de autovetores correspondente.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear
T\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4},\quad T(x,y,z,t)=(3x-4z,\;3y+5z,\;-z,\;-t)
e pede para verificar se T é diagonalizável. Para isso, vamos representar T em base canônica, calcular seus autovalores (com multiplicidades algébrica) e verificar se as dimensões dos autespaços (multiplicidades geométricas) se somam a 4. Se sim, T é diagonalizável e podemos expor a matriz diagonal e uma base de autovetores.

Passo 2

Em base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\} temos
T(e_1)=(3,0,0,0)=3e_1,\quad T(e_2)=(0,3,0,0)=3e_2,
T(e_3)=(-4,5,-1,0)=-4e_1+5e_2-1e_3,\quad T(e_4)=(0,0,0,-1)=-1e_4.
Logo a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 3 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I) =(3-\lambda)^2\,(-1-\lambda)^2.
Portanto os autovalores são \lambda=3 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=-1 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para \lambda=3 resolvemos (A-3I)v=0. As equações implicam
-4z=0,\quad5z=0,\quad -4t=0
logo z=0 e t=0, ficando x,y livres. Assim
E_{3}=\{(x,y,0,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\},
dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica, gerado por
(1,0,0,0) e (0,1,0,0).
Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0. As equações dão
4x-4z=0,\quad4y+5z=0,
com z e t livres. Podemos escolher z=4,\;t=0 para obter (4,-5,4,0), e z=0,\;t=1 para (0,0,0,1). Assim
E_{-1}=\mathrm{span}\{(4,-5,4,0),\,(0,0,0,1)\},
dimensão 2, também igual à multiplicidade algébrica.
Como as dimensões dos autespaços somam 2+2=4, T é diagonalizável.

Passo 5

Uma base de autovetores é
v_1=(1,0,0,0),\;v_2=(0,1,0,0)\quad(\lambda=3),
v_3=(4,-5,4,0),\;v_4=(0,0,0,1)\quad(\lambda=-1).
Na ordem \{v_1,v_2,v_3,v_4\} a matriz de T é diagonal.

Resposta

A matriz diagonal é
D=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
e uma base de autovetores correspondente é
(1,0,0,0),\quad(0,1,0,0),\quad(4,-5,4,0),\quad(0,0,0,1).

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