Considere a matriz M=\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\\\ 2 & -1\end{array}\right].
(a) Suponha que M é a matriz hessiana de uma função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} no ponto P que \nabla f(P)=(0,0). Classifique o ponto crítico P quanto a máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
(Lembre que a matriz hessiana é a matriz das derivadas de segunda ordem de f em P, ou seja, M=D^{2}(f)(P)=H(f)(P).)
(b) Seja \ell: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{1} uma função derivável tal que \nabla \ell(-2,7)=(-1,5).
(b.1) Sabendo que \ell(-2,7)=12, determine a equação do plano tangente ao gráfico de \ell no ponto (-2,7).
(b.2) Suponha que M é a matriz jacobiana de uma função g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} no ponto Q= (-3,5) e que g(-3,5)=(-2,7). Considere a função composta h(x, y)=\ell(g(x, y)) e calcule
\frac{\partial h}{\partial x}(-3,5) \quad \text { e } \quad \frac{\partial h}{\partial y}(-3,5)
(Lembre que a matriz jacobiana é a matriz das derivadas de primeira ordem de g em Q, ou seja, M=D(g)(Q)=J(g)(Q).)

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que se pede e o que foi dado):
  • Foi dada a matriz
M=\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
  • Parte (a): Supõe-se que M é a matriz hessiana de uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} no ponto P e que \nabla f(P)=(0,0). Pergunta-se: classificar o ponto crítico P como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
  • Parte (b): Há uma função derivável \ell:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} com \nabla \ell(-2,7)=(-1,5).
    • (b.1) Sabendo que \ell(-2,7)=12, determinar a equação do plano tangente ao gráfico de \ell no ponto (-2,7).
    • (b.2) Supõe-se que M é a matriz jacobiana de g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 no ponto Q=(-3,5) e que g(-3,5)=(-2,7). Define-se h(x,y)=\ell(g(x,y)). Calcular \dfrac{\partial h}{\partial x}(-3,5) e \dfrac{\partial h}{\partial y}(-3,5).
Dados resumidos que vamos usar:
M=\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix},\quad \nabla f(P)=(0,0),
\nabla \ell(-2,7)=(-1,5),\quad \ell(-2,7)=12,
Jg(Q)=M,\quad g(Q)=(-2,7),\quad Q=(-3,5).]

Passo 2

Entendendo e lembrando as ferramentas que vamos usar (aulas rápidas antes de aplicar):
  • Teste das segundas derivadas (para funções de duas variáveis): se f tem derivadas segundas contínuas em P, a hessiana em P é a matriz
D^2 f(P)=\begin{pmatrix} f_{xx}(P) & f_{xy}(P) \\[4pt] f_{yx}(P) & f_{yy}(P)\end{pmatrix}.
Normalmente, para funções C^2, vale f_{xy}=f_{yx} (matriz simétrica). O teste das segundas derivadas usa o determinante
D = f_{xx}(P)\,f_{yy}(P) - \big(f_{xy}(P)\big)^2.
As conclusões padrão são:
  • Se D>0 e f_{xx}(P)>0 então P é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}(P)<0 então P é máximo local.
  • Se D<0 então P é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou aplicar esse teste usando as entradas de M como os segundos derivados em P, ou seja:
f_{xx}(P)=M_{11}=1,\quad f_{xy}(P)=M_{12}=-3,\quad f_{yx}(P)=M_{21}=2,\quad f_{yy}(P)=M_{22}=-1.
(Observação técnica: em teoria f_{xy}=f_{yx}, mas aqui usamos os valores fornecidos em M conforme o enunciado.)
  • Para (b.1) — plano tangente ao gráfico z=\ell(x,y): fórmula do plano tangente no ponto (a,b,\ell(a,b)):
z=\ell(a,b)+\ell_x(a,b)\,(x-a)+\ell_y(a,b)\,(y-b).
Onde \ell_x,\ell_y são componentes do gradiente \nabla \ell.
  • Para (b.2) — regra da cadeia para composição \;h=\ell\circ g: se g=(g_1,g_2) e Jg(Q)=\begin{pmatrix}\partial g_1/\partial x & \partial g_1/\partial y\\[4pt]\partial g_2/\partial x & \partial g_2/\partial y\end{pmatrix}, então
\frac{\partial h}{\partial x}(Q)=\ell_x(g(Q))\frac{\partial g_1}{\partial x}(Q)+\ell_y(g(Q))\frac{\partial g_2}{\partial x}(Q),
\frac{\partial h}{\partial y}(Q)=\ell_x(g(Q))\frac{\partial g_1}{\partial y}(Q)+\ell_y(g(Q))\frac{\partial g_2}{\partial y}(Q).
Em forma matricial, \nabla h(Q)=Jg(Q)^{T}\,\nabla\ell(g(Q)).
Agora que sabemos quais fórmulas usar, aplicamos aos números do enunciado.]

Passo 3

Aplicando o teste das segundas derivadas (parte a):
Usando os valores extraídos de M:
f_{xx}(P)=1,\quad f_{xy}(P)=-3,\quad f_{yy}(P)=-1.
Calculamos o determinante
D=f_{xx}(P)\,f_{yy}(P)-\big(f_{xy}(P)\big)^2 =1\cdot(-1)-(-3)^2 = -1 - 9 = -10.
(Atenção: esta é a forma do teste usando f_{xy} igual a f_{xy} na expressão. Notei que acima, no Passo 2, eu tinha indicado usar diretamente f_{xy} do elemento M_{12}. Aqui evaluatei com M_{12}=-3.)
Interpretação: como D=-10<0, pelo teste das segundas derivadas concluímos que o ponto crítico P é um ponto de sela (porque D<0 implica curvaturas opostas nas direções principais).
Observação explicativa curta: o sinal negativo de D indica que a forma quadrática associada à hessiana toma valores positivos em algumas direções e negativos em outras — comportamento típico de sela.

Passo 4

Comentário sobre a aparente contradição entre simetria da hessiana e M:
  • Em teoria, a hessiana de uma função C^2 é simétrica (Clairaut), ou seja, f_{xy}=f_{yx}. Aqui o enunciado deu M com entradas assimétricas ( M_{12}=-3 e M_{21}=2). Há duas formas de proceder:
    1. Tratar os números fornecidos estritamente e aplicar o teste das segundas derivadas usando f_{xx}=1, f_{xy}=-3, f_{yy}=-1 (como fiz acima), o que deu D=-10<0 e sela.
    2. Outra abordagem que às vezes aparece é simetrizar M tomando (M+M^{T})/2; nesse caso a análise pode dar outro resultado.
  • Como o enunciado afirmou diretamente que M é a hessiana, segui o uso direto das entradas dadas e obtive D<0 ⇒ ponto de sela.
Se você quiser, posso também mostrar rapidamente a simetrização e o que daria, mas a solução acima é a aplicação direta do teste com os valores fornecidos.

Passo 5

Agora (b.1) — equação do plano tangente ao gráfico de \ell em (-2,7):
Usamos a fórmula do plano tangente:
z=\ell(-2,7)+\ell_x(-2,7)\,(x+2)+\ell_y(-2,7)\,(y-7).
Substituindo \ell(-2,7)=12 e \nabla\ell(-2,7)=(-1,5) (ou seja, \ell_x=-1,\\ \ell_y=5):
z=12 + (-1)(x+2) + 5(y-7).
Fazendo as contas passo a passo:
z=12 - x - 2 + 5y - 35 = -x + 5y - 25.
Portanto o plano tangente é z=-x+5y-25.

Passo 6

Agora (b.2) — calcular \dfrac{\partial h}{\partial x}(-3,5) e \dfrac{\partial h}{\partial y}(-3,5) para h=\ell\circ g:
Dados: Jg(Q)=M=\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}. Isso significa:
\frac{\partial g_1}{\partial x}(Q)=1,\quad \frac{\partial g_1}{\partial y}(Q)=-3,
\frac{\partial g_2}{\partial x}(Q)=2,\quad \frac{\partial g_2}{\partial y}(Q)=-1.
Também \nabla\ell(g(Q))=\nabla\ell(-2,7)=(-1,5), ou seja \ell_x(g(Q))=-1,\\ \ell_y(g(Q))=5.
Aplicando a regra da cadeia componente a componente:
\frac{\partial h}{\partial x}(Q)=\ell_x(g(Q))\frac{\partial g_1}{\partial x}(Q)+\ell_y(g(Q))\frac{\partial g_2}{\partial x}(Q) =-1\cdot 1 + 5\cdot 2 = -1 + 10 = 9.
\frac{\partial h}{\partial y}(Q)=\ell_x(g(Q))\frac{\partial g_1}{\partial y}(Q)+\ell_y(g(Q))\frac{\partial g_2}{\partial y}(Q) =-1\cdot(-3) + 5\cdot(-1) = 3 - 5 = -2.
Verificação matricial (opcional, rápido): \nabla h(Q)=Jg(Q)^{T}\nabla\ell(g(Q)). Calculando
Jg(Q)^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-3 & -1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1+10\\[4pt]3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\[4pt]-2\end{pmatrix},
que coincide com os valores obtidos.]

Resposta

(a) P é um ponto de sela.
(b.1) z = -x + 5y - 25.
(b.2) \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}(-3,5)=9
\displaystyle \frac{\partial h}{\partial y}(-3,5)=-2

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