Considere a matriz M=\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\\\ 2 & -1\end{array}\right].
(a) Suponha que M é a matriz hessiana de uma função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} no ponto P que \nabla f(P)=(0,0). Classifique o ponto crítico P quanto a máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
(Lembre que a matriz hessiana é a matriz das derivadas de segunda ordem de f em P, ou seja, M=D^{2}(f)(P)=H(f)(P).)
(b) Seja \ell: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{1} uma função derivável tal que \nabla \ell(-2,7)=(-1,5).
(b.1) Sabendo que \ell(-2,7)=12, determine a equação do plano tangente ao gráfico de \ell no ponto (-2,7).
(b.2) Suponha que M é a matriz jacobiana de uma função g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} no ponto Q= (-3,5) e que g(-3,5)=(-2,7). Considere a função composta h(x, y)=\ell(g(x, y)) e calcule
Parte (a): Supõe-se que M é a matriz hessiana de uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} no ponto P e que \nabla f(P)=(0,0). Pergunta-se: classificar o ponto crítico P como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Parte (b): Há uma função derivável \ell:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} com \nabla \ell(-2,7)=(-1,5).
(b.1) Sabendo que \ell(-2,7)=12, determinar a equação do plano tangente ao gráfico de \ell no ponto (-2,7).
(b.2) Supõe-se que M é a matriz jacobiana de g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 no ponto Q=(-3,5) e que g(-3,5)=(-2,7). Define-se h(x,y)=\ell(g(x,y)). Calcular \dfrac{\partial h}{\partial x}(-3,5) e \dfrac{\partial h}{\partial y}(-3,5).
Onde \ell_x,\ell_y são componentes do gradiente \nabla \ell.
Para (b.2) — regra da cadeia para composição \;h=\ell\circ g: se g=(g_1,g_2) e Jg(Q)=\begin{pmatrix}\partial g_1/\partial x & \partial g_1/\partial y\\[4pt]\partial g_2/\partial x & \partial g_2/\partial y\end{pmatrix}, então
(Atenção: esta é a forma do teste usando f_{xy} igual a f_{xy} na expressão. Notei que acima, no Passo 2, eu tinha indicado usar diretamente f_{xy} do elemento M_{12}. Aqui evaluatei com M_{12}=-3.)
Interpretação: como D=-10<0, pelo teste das segundas derivadas concluímos que o ponto crítico P é um ponto de sela (porque D<0 implica curvaturas opostas nas direções principais).
Observação explicativa curta: o sinal negativo de D indica que a forma quadrática associada à hessiana toma valores positivos em algumas direções e negativos em outras — comportamento típico de sela.
Passo 4
Comentário sobre a aparente contradição entre simetria da hessiana e M:
Em teoria, a hessiana de uma função C^2 é simétrica (Clairaut), ou seja, f_{xy}=f_{yx}. Aqui o enunciado deu M com entradas assimétricas (M_{12}=-3 e M_{21}=2). Há duas formas de proceder:
Tratar os números fornecidos estritamente e aplicar o teste das segundas derivadas usando f_{xx}=1, f_{xy}=-3, f_{yy}=-1 (como fiz acima), o que deu D=-10<0 e sela.
Outra abordagem que às vezes aparece é simetrizar M tomando (M+M^{T})/2; nesse caso a análise pode dar outro resultado.
Como o enunciado afirmou diretamente que M é a hessiana, segui o uso direto das entradas dadas e obtive D<0 ⇒ ponto de sela.
Se você quiser, posso também mostrar rapidamente a simetrização e o que daria, mas a solução acima é a aplicação direta do teste com os valores fornecidos.
Passo 5
Agora (b.1) — equação do plano tangente ao gráfico de \ell em (-2,7):
(a) P é um ponto de sela.
(b.1) z = -x + 5y - 25.
(b.2) \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}(-3,5)=9 \displaystyle \frac{\partial h}{\partial y}(-3,5)=-2