Em qual dos sistemas lineares abaixo (nas variáveis x, y e z) o conjunto-solução tem dimensão 1 ?
(a) \left\{\begin{array}{r}-20 x-28 y-32 z=-12, \\\\ -15 x-21 y-24 z=-9 .\end{array}\right.
(b) \left\{\begin{array}{r}3 x+5 y+7 z=8, \\\\ 12 x+20 y+28 z=32, \\\\ 6 y+4 z=1 .\end{array}\right.
(c) \left\{\begin{aligned}-12 x-20 y-28 z & =-32, \\\\ -9 x-15 y-21 z & =-24 .\end{aligned}\right.
(d) \left\{\begin{aligned} 3 x+5 y+7 z & =8, \\\\ 6 y+4 z & =1, \\\ z & =2 .\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede em qual sistema a solução forma uma reta, ou seja, tem dimensão 1. Em geral, para um sistema linear com n incógnitas e matriz de coeficientes A de posto \mathrm{rank}(A), vale
\dim(\text{solução}) \;=\; n - \mathrm{rank}(A),çã
desde que o sistema seja compatível. Aqui n=3, então buscamos sistemas de posto 2.
Observe que cada coeficiente da segunda equação é 0,75 vezes o da primeira, e também -9 é 0,75\cdot(-12). Logo as duas equações são dependentes, \mathrm{rank}=1, e