1. Em qual dos sistemas lineares abaixo (nas variáveis x, y e z) o conjunto-solução tem dimensão 1 ?
    (a) \left\{\begin{array}{r}-20 x-28 y-32 z=-12, \\\\ -15 x-21 y-24 z=-9 .\end{array}\right.
    (b) \left\{\begin{array}{r}3 x+5 y+7 z=8, \\\\ 12 x+20 y+28 z=32, \\\\ 6 y+4 z=1 .\end{array}\right.
    (c) \left\{\begin{aligned}-12 x-20 y-28 z & =-32, \\\\ -9 x-15 y-21 z & =-24 .\end{aligned}\right.
    (d) \left\{\begin{aligned} 3 x+5 y+7 z & =8, \\\\ 6 y+4 z & =1, \\\ z & =2 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede em qual sistema a solução forma uma reta, ou seja, tem dimensão 1. Em geral, para um sistema linear com n incógnitas e matriz de coeficientes A de posto \mathrm{rank}(A), vale
\dim(\text{solução}) \;=\; n - \mathrm{rank}(A),çã
desde que o sistema seja compatível. Aqui n=3, então buscamos sistemas de posto 2.

Passo 2

Sistema (a):
\begin{cases} -20x-28y-32z=-12,\\\\ -15x-21y-24z=-9. \end{cases}
Observe que cada coeficiente da segunda equação é 0,75 vezes o da primeira, e também -9 é 0,75\cdot(-12). Logo as duas equações são dependentes, \mathrm{rank}=1, e
\dim(\text{solução})=3-1=2.çã

Passo 3

Sistema (b):
\begin{cases} 3x+5y+7z=8,\\\\ 12x+20y+28z=32,\\\\ 6y+4z=1. \end{cases}
A segunda equação é 4 vezes a primeira, caindo para duas equações independentes:
3x+5y+7z=8, \quad 6y+4z=1.
Essas são claramente independentes \mathrm{rank}=2, e o sistema é compatível. Logo
\dim(\text{solução})=3-2=1.çã

Passo 4

Sistema (c):
\begin{cases} -12x-20y-28z=-32,\\\\ -9x-15y-21z=-24. \end{cases}
Novamente a segunda é 0,75 vezes a primeira, dando \mathrm{rank}=1 e
\dim(\text{solução})=3-1=2.çã

Passo 5

Sistema (d):
\begin{cases} 3x+5y+7z=8,\\\\ 6y+4z=1,\\\ z=2. \end{cases}
Aqui temos três equações independentes (substituir z=2 em 6y+4z=1 fixa y, e em seguida fixa x). Logo \mathrm{rank}=3 e
\dim(\text{solução})=3-3=0.çã

Resposta

A opção que produz solução de dimensão 1 é a letra (b).

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