Determine os valores de x e y :
\left[\begin{array}{ll} x & 2 \\\\ 3 & y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre duas matrizes 2\times2:
\begin{bmatrix} x & 2\\[4pt] 3 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2\\[4pt] 3 & 4 \end{bmatrix}
O que se pede: determinar os valores de x e y.
Informações relevantes fornecidas:
  • Entrada superior esquerda da primeira matriz é x (desconhecido).
  • Entrada superior direita da primeira matriz é 2.
  • Entrada inferior esquerda da primeira matriz é 3.
  • Entrada inferior direita da primeira matriz é y (desconhecido).
  • A matriz à direita tem entradas conhecidas 1,2,3,4 nas mesmas posições correspondentes.]

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): duas matrizes de mesma dimensão são iguais se, e somente se, todos os elementos correspondentes são iguais. Formalmente, se
A=[a_{ij}]\quad\text{e}\quad B=[b_{ij}]
são matrizes da mesma ordem e A=B, então vale
a_{ij}=b_{ij}\quad\text{para todo }i,j.
Significado prático: comparar posição por posição (topo-esquerda com topo-esquerda, topo-direita com topo-direita, etc.). Essa é a definição de igualdade entre matrizes — não tem mistério: cada casa do “arranjo” deve coincidir.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso, igualamos as entradas correspondentes nas quatro posições:
  • posição (1,1) (topo-esquerda): \;x=1.
  • posição (1,2) (topo-direita): \;2=2.
  • posição (2,1) (inferior-esquerda): \;3=3.
  • posição (2,2) (inferior-direita): \;y=4.

Passo 4

Resolver as igualdades obtidas:
  • Da igualdade \;x=1 segue imediatamente \;x=1.
  • Da igualdade \;y=4 segue imediatamente \;y=4.
    As outras duas igualdades ( 2=2 e 3=3) são identidades verdadeiras que confirmam consistência, não trazem novas incógnitas.

Passo 5

Verificação final (checar por segurança): substituindo x=1 e y=4 na primeira matriz obtemos
\begin{bmatrix} 1 & 2\\[4pt] 3 & 4 \end{bmatrix},
que coincide exatamente com a matriz do lado direito. Logo os valores encontrados são corretos.]

Passo 6

Dica para a prova (treino rápido): sempre compare posição a posição. Por exemplo, se tivesse
\begin{bmatrix}a & 5\\[4pt]2 & b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 5\\[4pt]2 & 7\end{bmatrix},
então a=3 e b=7. É o mesmo procedimento simples que fizemos aqui — respire fundo, compare entradas e resolva.]

Resposta

x=1
y=4

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