Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} -1 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & \alpha \\\\ 2 & 6 & 0 & -2 \end{array}\right]
Sabendo que \operatorname{det}(A)=0, calcule o valor de \alpha.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} -1 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & \alpha \\\\ 2 & 6 & 0 & -2 \end{array}\right]
e diz que \det(A)=0. A tarefa é calcular o valor de \alpha que torna o determinante igual a zero.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • As entradas da matriz A são exatamente as mostradas acima.
  • Condição: \det(A)=0.
O que se pede:
  • Determinar o(s) valor(es) de \alpha tal que \det(A)=0.

Passo 2

Escolha do método e fórmula que usaremos (sem resolver ainda): vamos calcular \det(A) como função de \alpha e depois impor \det(A)=0. Para calcular \det(A) usarei a expansão por cofactores (expansão de Laplace) ao longo da segunda coluna, porque essa coluna tem entradas zero em duas linhas (facilita bastante).
Recordando a fórmula de expansão por cofactores ao longo da coluna j:
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\,a_{ij}\,\det(M_{ij}),
onde a_{ij} é o elemento da matriz e M_{ij} é a matriz obtida de A removendo-se a linha i e a coluna j.
No nosso caso tomamos j=2 (segunda coluna). Os elementos da coluna 2 são a_{12}=1, a_{22}=0, a_{32}=0, a_{42}=6. Assim só teremos contribuição de i=1 e i=4:
\det(A)=(-1)^{1+2}a_{12}\det(M_{12})+(-1)^{4+2}a_{42}\det(M_{42}).
Substituindo a_{12}=1 e a_{42}=6:
\det(A)=-\det(M_{12})+6\det(M_{42}).

Passo 3

Calcular \det(M_{12}). A matriz M_{12} (removendo linha 1 e coluna 2 de A) é
M_{12}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & -1 & \alpha \\\\ 2 & 0 & -2 \end{array}\right].
Vamos calcular o determinante de M_{12} expandindo pela primeira linha (porque tem um zero, fica simples). Os elementos da primeira linha são 0,2,1. Pela regra de sinais da expansão pela primeira linha:
\det(M_{12}) = (-1)^{1+1}\cdot 0\cdot\det(\cdot) + (-1)^{1+2}\cdot 2\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}2 & \alpha \\\\ 2 & -2\end{array}\right) + (-1)^{1+3}\cdot 1\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right).
Avaliamo termo a termo:
  1. Primeiro termo é zero por multiplicação por 0.
  2. Segundo termo: o sinal é (-1)^{3}=-1. O menor é
\det\!\left(\begin{array}{cc}2 & \alpha \\\\ 2 & -2\end{array}\right)=2\cdot(-2)-\alpha\cdot 2=-4-2\alpha.
Então o segundo termo é -2\cdot(-4-2\alpha)=8+4\alpha.
  1. Terceiro termo: o sinal é (-1)^{4}=+1. O menor é
\det\!\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right)=2\cdot 0 - (-1)\cdot 2 = 2.
Então o terceiro termo é 1\cdot 2=2.
Somando:
\det(M_{12})=(8+4\alpha)+2=10+4\alpha.

Passo 4

Calcular \det(M_{42}). A matriz M_{42} (removendo linha 4 e coluna 2 de A) é
M_{42}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & -1 & \alpha \end{array}\right].
Para um 3\times3 usamos a fórmula direta (expansão padrão). Tomando as linhas como [a,b,c], [d,e,f], [g,h,i], temos
\det = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aqui a=-1, b=3, c=-2; d=0, e=2, f=1; g=2, h=-1, i=\alpha.
Calcule os subdeterminantes:
ei-fh = 2\alpha - 1\cdot(-1) = 2\alpha+1,
di-fg = 0\cdot\alpha - 1\cdot 2 = -2,
dh-eg = 0\cdot(-1) - 2\cdot 2 = -4.
Agora combine:
\det(M_{42}) = -1\cdot(2\alpha+1) - 3\cdot(-2) + (-2)\cdot(-4).
Simplificando:
\det(M_{42}) = -2\alpha -1 +6 +8 = -2\alpha +13.

Passo 5

Juntando os resultados em \det(A)=-\det(M_{12})+6\det(M_{42}):
\det(A)=-(10+4\alpha)+6(-2\alpha+13).
Calcule passo a passo:
\det(A)=-10-4\alpha-12\alpha+78=68-16\alpha.
Impondo a condição do enunciado \det(A)=0:
68-16\alpha=0.
Resolva para \alpha:
16\alpha=68\quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{68}{16}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 4):
\alpha=\frac{17}{4}.
Como checagem rápida: substituindo \alpha=\dfrac{17}{4} em 68-16\alpha 68-16\cdot\dfrac{17}{4}=68-4\cdot17=68-68=0, conforme esperado.

Resposta

\alpha=\dfrac{17}{4}

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