(2,5 pontos) Escreva a equação da hipérbole cujos focos se encontram nos pontos
e
, e a diferença dos raios focais é igual a 5 .
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
- Os focos da hipérbole são
e . - A diferença dos raios focais (ou seja, a diferença das distâncias de um ponto genérico da hipérbole aos focos) é igual a
.
O que o problema pede: - Escrever a equação da hipérbole que satisfaz essas condições.
Passo 2
Encontrar o centro da hipérbole (o ponto médio dos focos). A fórmula do ponto médio entre
e
é
Aplicando aos focos:
Logo o centro é
.
Passo 3
Determinar a orientação da hipérbole. Como os focos têm a mesma abscissa (
) e y diferentes, a linha dos focos é vertical; portanto a hipérbole tem eixo transverso vertical. Isso significa que a forma padrão da equação central será
onde
.
Passo 4
Relacionar a diferença dos raios focais com
. Por definição da hipérbole, a diferença absoluta das distâncias a cada foco é constante e igual a
. O enunciado dá essa diferença igual a
, então
Explicando em palavras:
é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso; a diferença fixa das distâncias aos focos vale
.
Passo 5
Calcular
, a distância do centro até cada foco. Use a fórmula da distância entre pontos; aqui, como
dos focos e do centro coincidem, basta olhar a diferença em
:
Portanto
e
.
Passo 6
Relacionar
,
e
. Para uma hipérbole central vale a relação
Já temos
e
. Então
Passo 7
Escrever a equação padrão usando
,
e
. A forma é
Multiplicando numerador e denominador por
em cada fração (para evitar denominadores complexos), obtemos uma forma equivalente mais simples:
Como checagem rápida, os vértices ficam em
, isto é
e
, coerente com eixo vertical.