(2,5 pontos) Escreva a equação da hipérbole cujos focos se encontram nos pontos \mathrm{F}_{1}=(2,-7) e \mathrm{F}_{2}=(2,5), e a diferença dos raios focais é igual a 5 .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Os focos da hipérbole são \mathrm{F}_{1}=(2,-7) e \mathrm{F}_{2}=(2,5).
  • A diferença dos raios focais (ou seja, a diferença das distâncias de um ponto genérico da hipérbole aos focos) é igual a 5.
    O que o problema pede:
  • Escrever a equação da hipérbole que satisfaz essas condições.

Passo 2

Encontrar o centro da hipérbole (o ponto médio dos focos). A fórmula do ponto médio entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Aplicando aos focos:
h=\frac{2+2}{2}=2,\qquad k=\frac{-7+5}{2}=\frac{-2}{2}=-1.
Logo o centro é (h,k)=(2,-1).

Passo 3

Determinar a orientação da hipérbole. Como os focos têm a mesma abscissa ( x=2) e y diferentes, a linha dos focos é vertical; portanto a hipérbole tem eixo transverso vertical. Isso significa que a forma padrão da equação central será
\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1,
onde (h,k)=(2,-1).

Passo 4

Relacionar a diferença dos raios focais com a. Por definição da hipérbole, a diferença absoluta das distâncias a cada foco é constante e igual a 2a. O enunciado dá essa diferença igual a 5, então
2a=5 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{5}{2}.
Explicando em palavras: a é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso; a diferença fixa das distâncias aos focos vale 2a.

Passo 5

Calcular c, a distância do centro até cada foco. Use a fórmula da distância entre pontos; aqui, como x dos focos e do centro coincidem, basta olhar a diferença em y:
c=\text{dist}\big((2,-1),(2,5)\big)=|5-(-1)|=6.
Portanto c=6 e c^{2}=36.

Passo 6

Relacionar a, b e c. Para uma hipérbole central vale a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Já temos c^{2}=36 e a^{2}=\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}=\dfrac{25}{4}. Então
b^{2}=c^{2}-a^{2}=36-\frac{25}{4}=\frac{144-25}{4}=\frac{119}{4}.

Passo 7

Escrever a equação padrão usando (h,k)=(2,-1), a^{2}=\dfrac{25}{4} e b^{2}=\dfrac{119}{4}. A forma é
\frac{(y+1)^{2}}{25/4}-\frac{(x-2)^{2}}{119/4}=1.
Multiplicando numerador e denominador por 4 em cada fração (para evitar denominadores complexos), obtemos uma forma equivalente mais simples:
\frac{4(y+1)^{2}}{25}-\frac{4(x-2)^{2}}{119}=1.
Como checagem rápida, os vértices ficam em (2,-1\pm a)=(2,-1\pm \tfrac{5}{2}), isto é (2,1{,}5) e (2,-3{,}5), coerente com eixo vertical.

Resposta

\frac{4(y+1)^{2}}{25}-\frac{4(x-2)^{2}}{119}=1

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