(4,0) Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 5 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right].
a) Encontre uma base para \operatorname{Nuc}(A);
b) Calcule o posto de A;
c) Verifique se o vetor v=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right] pertence a \operatorname{Nuc}(A);
d) Se T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é a transformação linear induzida pela matriz A, determine se T é injetiva e se T é sobrejetiva.
v = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}.
Pede‐se:
a) base de \Nuc(A);
b) posto de A;
c) verificar se v\in\Nuc(A);
d) verificar se a transformação T:\R^5\to\R^3, T(x)=Ax, é injetiva e/ou sobrejetiva.
O conteúdo é cálculo de núcleo, posto de matriz e aplicação do teorema do núcleo‐imagem para injeção e sobrejeção.
Passo 2
Observamos que A já está em forma escalonada por linhas, com pivôs em:
coluna 1 (linha 1),
coluna 3 (linha 2),
coluna 5 (linha 3).
As variáveis correspondentes a colunas sem pivô, isto é, x_2 e x_4, são livres.
Da terceira equação vem x_5=0\]. Na segunda:
\[x_3 +5x_4=0\implies x_3=-5x_4.\]
Na primeira:
\[x_1 +2x_2 +7x_4=0\implies x_1=-2x_2-7x_4.\]
Logo o vetor genérico do núcleo é
\[x = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\x_5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2x_2-7x_4\x_2\\\ -5x_4\x_4\\\ 0\end{pmatrix} = x_2\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + x_4\begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ -5\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.\]
Portanto uma base de \(\Nuc(A) é