(4,0) Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 5 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right].
a) Encontre uma base para \operatorname{Nuc}(A);
b) Calcule o posto de A;
c) Verifique se o vetor v=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right] pertence a \operatorname{Nuc}(A);
d) Se T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é a transformação linear induzida pela matriz A, determine se T é injetiva e se T é sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 5 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e o vetor
v = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}.
Pede‐se:
a) base de \Nuc(A);
b) posto de A;
c) verificar se v\in\Nuc(A);
d) verificar se a transformação T:\R^5\to\R^3, T(x)=Ax, é injetiva e/ou sobrejetiva.
O conteúdo é cálculo de núcleo, posto de matriz e aplicação do teorema do núcleo‐imagem para injeção e sobrejeção.

Passo 2

Observamos que A já está em forma escalonada por linhas, com pivôs em:
  • coluna 1 (linha 1),
  • coluna 3 (linha 2),
  • coluna 5 (linha 3).
    As variáveis correspondentes a colunas sem pivô, isto é, x_2 e x_4, são livres.

Passo 3

Para achar \Nuc(A)\) resolvemos \(Ax=0\). As equações são \[\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 + 2x_4 - x_5 = 0,\\\ x_3 + 5x_4 + x_5 = 0,\\\ x_5 = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem x_5=0\]. Na segunda: \[x_3 +5x_4=0\implies x_3=-5x_4.\] Na primeira: \[x_1 +2x_2 +7x_4=0\implies x_1=-2x_2-7x_4.\] Logo o vetor genérico do núcleo é \[x = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\x_5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2x_2-7x_4\x_2\\\ -5x_4\x_4\\\ 0\end{pmatrix} = x_2\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + x_4\begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ -5\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.\] Portanto uma base de \(\Nuc(A) é
\left\{\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ -5\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.

Passo 4

O posto de A é o número de pivôs não‐nulos na forma escalonada. Assim
\operatorname{rank}(A)=3.

Passo 5

Para ver se v\in\Nuc(A) basta calcular Av. Da terceira linha de A vem (Av)_3 = x_5 = 3\neq0, logo Av\neq0 e
v\notin\Nuc(A).

Passo 6

Pela teoria de transformações lineares:
  • T não é injetiva porque \dim\Nuc(A)=2>0.
  • T é sobrejetiva porque \operatorname{rank}(A)=3=\dim(\R^3).

Resposta

a) Uma base de \Nuc(A) é
\left\{\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ -5\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.
b) \operatorname{rank}(A)=3.
c) v\notin\Nuc(A).
d) T não é injetiva e é sobrejetiva.

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