(2,0) Suponha que B=\left\{b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right\} e C=\left\{c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}\right\} são bases de um espaço vetorial V onde
\begin{aligned} & b_{1}=2 c_{1}+c_{2}+c_{4} \\\ & b_{2}=-c_{1}+c_{2}+3 c_{3}-5 c_{4} \\\ & b_{3}=8 c_{1}+2 c_{2}+c_{3} \\\ & b_{4}=-c_{2}+2 c_{3}+4 c_{4} \end{aligned}
a) Determine a matriz mudança de bases P_{B \rightarrow C};
b) Se v é um vetor em V tal que [v]_{B}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right], calcule [v]_{C}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases
\,B=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}\} e C=\{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\} de um espaço vetorial V e expressa cada b_{j} como combinação linear dos c_{i}. Parte (a) pede a matriz de mudança de base de B para C, que tem como colunas as coordenadas de cada b_{j} na base C. Na parte (b), dado [v]_{B}, devemos calcular [v]_{C}=P_{B\to C}\,[v]_{B}.

Passo 2

Ler das expressões
\begin{aligned} b_{1}&=2c_{1}+1c_{2}+0c_{3}+1c_{4},\\\ b_{2}&=-1c_{1}+1c_{2}+3c_{3}-5c_{4},\\\ b_{3}&=8c_{1}+2c_{2}+1c_{3}+0c_{4},\\\ b_{4}&=0c_{1}-1c_{2}+2c_{3}+4c_{4}, \end{aligned}
que as coordenadas de b_{j} em C são os vetores coluna
[\,b_{1}\!]_{C}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad [\,b_{2}\!]_{C}=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 3\\\ -5\end{pmatrix},\quad [\,b_{3}\!]_{C}=\begin{pmatrix}8\\\ 2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad [\,b_{4}\!]_{C}=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix}.
Logo a matriz de mudança de base P_{B\to C} é
P_{B\to C} =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 8 & 0\\\\ 1 & 1 & 2 & -1\\\\ 0 & 3 & 1 & 2\\\\ 1 & -5 & 0 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular [v]_{C} usamos
[v]_{C}=P_{B\to C}\,[v]_{B} \quad\text{com}\quad [v]_{B}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação de colunas, obtemos
[v]_{C} =\begin{pmatrix} 2+(-1)+8+0\\\\ 1+1+2+(-1)\\\\ 0+3+1+2\\\\ 1+(-5)+0+4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9\\\ 3\\\ 6\\\ 0\end{pmatrix}.

Resposta

P_{B\to C} =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 8 & 0\\\\ 1 & 1 & 2 & -1\\\\ 0 & 3 & 1 & 2\\\\ 1 & -5 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \qquad [v]_{C} =\begin{pmatrix}9\\\ 3\\\ 6\\\ 0\end{pmatrix}.

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