Questào 1 (Valor: 2,0) Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por T(x, y)=(-x, y). Qual a matriz de T com respeito à base canônica? Qual a matriz de T com respeito à base B=\{(1,2),(1,-1)\} ?
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y)=(-x,y)
e pede: 1. A matriz de T na base canônica \mathcal{E}=\{e_1,e_2\}, com e_1=(1,0) e e_2=(0,1). 2. A matriz de T na base B=\{b_1,b_2\}, com b_1=(1,2) e b_2=(1,-1).
O conteúdo é representação matricial de transformação linear e mudança de base; vamos calcular T sobre cada vetor da base e expressar o resultado na mesma base.
Resolvendo: da primeira (\delta=-1-\gamma]. Substituindo 2\gamma-(-1-\gamma)=-1\implies3\gamma=-2\implies\gamma=-\tfrac23,\quad\delta=-\tfrac13.
Passo 5
As colunas de [T]_B são os vetores de coordenadas de T(b_1) e T(b_2) em B, isto é \bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{4}{3}\bigr) e \bigl(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\bigr). Portanto