Questào 1 (Valor: 2,0) Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por T(x, y)=(-x, y). Qual a matriz de T com respeito à base canônica? Qual a matriz de T com respeito à base B=\{(1,2),(1,-1)\} ?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y)=(-x,y)
e pede:
1. A matriz de T na base canônica \mathcal{E}=\{e_1,e_2\}, com e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
2. A matriz de T na base B=\{b_1,b_2\}, com b_1=(1,2) e b_2=(1,-1).
O conteúdo é representação matricial de transformação linear e mudança de base; vamos calcular T sobre cada vetor da base e expressar o resultado na mesma base.

Passo 2

Para a base canônica \mathcal{E}:
T(e_1)=T(1,0)=(-1,0)=-1\,e_1+0\,e_2,
T(e_2)=T(0,1)=(0,1)=0\,e_1+1\,e_2.
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[T]_{\mathcal{E}} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para a base B\), primeiro \(b_1=(1,2)\). Calcula-se \[T(b_1)=T(1,2)=(-1,2).
Procuramos \alpha,\beta tais que
(-1,2)=\alpha(1,2)+\beta(1,-1),
isto é, o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=-1,\\\\ 2\alpha-\beta=2. \end{cases}
Resolvendo: da primeira (\beta=-1-\alpha]. Substituindo na segunda
2\alpha-(-1-\alpha)=2\implies3\alpha=1\implies\alpha=\tfrac13,\quad\beta=-\tfrac43.

Passo 4

Agora b_2=(1,-1)\). Calcula-se \[T(b_2)=T(1,-1)=(-1,-1).
Procuramos \gamma,\delta tais que
(-1,-1)=\gamma(1,2)+\delta(1,-1),
isto é,
\begin{cases} \gamma+\delta=-1,\\\\ 2\gamma-\delta=-1. \end{cases}
Resolvendo: da primeira (\delta=-1-\gamma]. Substituindo
2\gamma-(-1-\gamma)=-1\implies3\gamma=-2\implies\gamma=-\tfrac23,\quad\delta=-\tfrac13.

Passo 5

As colunas de [T]_B são os vetores de coordenadas de T(b_1) e T(b_2) em B, isto é
\bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{4}{3}\bigr) e \bigl(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\bigr). Portanto
[T]_B=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[6pt] -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

Matriz de T na base canônica:
[T]_{\mathcal{E}}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Matriz de T na base B:
[T]_B=\begin{pmatrix} \tfrac13 & -\tfrac23\\\\ -\tfrac43 & -\tfrac13 \end{pmatrix}.

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