(2,0) Seja \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) o espaço vetorial formado pelos polinômios de grau no máximo 3 . Considere o subconjunto de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) dado por
W:=\left\{a+b t+c t^{2}+d t^{3} \mid a+b+c+d=0\right\} .
Mostre que W é um subespaço vetorial de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) como o espaço dos polinômios de grau <=3 e o subconjunto
W = \{\,a + b\,t + c\,t^2 + d\,t^3 \mid a+b+c+d=0\}\,.
Para mostrar que W é subespaço vetorial, usamos o critério padrão:
1. W\neq\emptyset (temos o polinômio zero).
2. Se p,q\in W então p+q\in W.
3. Se p\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha p\in W.

Passo 2

Mostramos que o polinômio zero pertence a W. O polinômio zero é
0(t)=0 + 0\,t + 0\,t^2 + 0\,t^3,
cuja soma dos coeficientes é 0+0+0+0=0. Logo 0\in W, e W não é vazio.

Passo 3

Fechamento em relação à soma. Suponha
p(t)=a + b\,t + c\,t^2 + d\,t^3,\quad q(t)=a' + b'\,t + c'\,t^2 + d'\,t^3
em W, ou seja, a+b+c+d=0 e a'+b'+c'+d'=0. Então
(p+q)(t)=(a+a') + (b+b')\,t + (c+c')\,t^2 + (d+d')\,t^3
tem soma dos coeficientes
(a+a')+(b+b')+(c+c')+(d+d') =(a+b+c+d)+(a'+b'+c'+d')=0+0=0,
logo p+q\in W.

Passo 4

Fechamento em relação à multiplicação por escalar. Seja p(t)=a + b\,t + c\,t^2 + d\,t^3 em W, com a+b+c+d=0, e seja \alpha\in\mathbb{R}. Então
(\alpha p)(t)=\alpha a + \alpha b\,t + \alpha c\,t^2 + \alpha d\,t^3
e a soma dos coeficientes é
\alpha a + \alpha b + \alpha c + \alpha d = \alpha\,(a+b+c+d) = \alpha\cdot 0 = 0,
logo \alpha p\in W.

Passo 5

Como W contém o polinômio zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Resposta

W é subespaço vetorial de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

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