Seja
o espaço vetorial formado pelos polinômios de grau no máximo 3 . Considere o subconjunto de
dado por
Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço dos polinômios de grau
e o subconjunto
Para mostrar que
é subespaço vetorial, usamos o critério padrão:
.
(temos o polinômio zero).
. Se
então
.
. Se
e
então
.
Passo 2
Mostramos que o polinômio zero pertence a
. O polinômio zero é
cuja soma dos coeficientes é
. Logo
, e
não é vazio.
Passo 3
Fechamento em relação à soma. Suponha
em
, ou seja,
e
. Então
tem soma dos coeficientes
logo
.
Passo 4
Fechamento em relação à multiplicação por escalar. Seja
em
, com
, e seja
. Então
e a soma dos coeficientes é
logo
.
Passo 5
Como
contém o polinômio zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.