Exercício 5 Considere uma circunferência de centro C(4,7) e raio r=8.
a) Determine a equação cartesiana da circunferência.
b) Determine as equações paramétricas dessa circunferência.

Passo 1

O enunciado dá uma circunferência de centro C(4,7) e raio r=8. Precisamos:
  1. Encontrar a equação cartesiana dessa circunferência.
  2. Encontrar uma representação paramétrica, ou seja, funções x(t) e y(t) que descrevem todos os pontos da circunferência quando t varia.

Passo 2

Para a equação cartesiana de uma circunferência com centro (h,k) e rádio r usamos a fórmula
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.
Aqui h=4, k=7 e r=8. Substituindo, obtemos
(x-4)^2 + (y-7)^2 = 8^2 = 64.

Passo 3

Para a forma paramétrica lembramos que um ponto qualquer numa circunferência de raio r pode ser escrito como
x = h + r\cos t, \quad y = k + r\sin t,
onde t varia de 0 a 2\pi. Substituindo h=4, k=7 e r=8, ficamos com
\begin{cases} x(t) = 4 + 8\cos t,\\\ y(t) = 7 + 8\sin t, \end{cases} \quad t\in[0,2\pi).

Resposta

a) (x-4)^2 + (y-7)^2 = 64.
b) \displaystyle x = 4 + 8\cos t,\quad y = 7 + 8\sin t,\quad 0 \le t < 2\pi.

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