Seja V=\mathbb{R}^{4}, determine quais dos conjuntos S \subset V descritos a seguir são subespaços de V
(b) S=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=2\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{4} e o subconjunto
S = \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=2\}.
Queremos verificar se S é um subespaço de V. Para isso, basta usar o critério de subespaço: um subconjunto é subespaço se e somente se contiver o vetor zero e for fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0,0) pertence a S. Substituindo na condição,
0 + 0 + 0 + 0 = 0 \neq 2,
ou seja, o vetor zero não satisfaz x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=2.

Passo 3

Como o vetor zero não pertence a S, o critério de subespaço é violado. Portanto S não pode ser um subespaço de V.

Resposta

S não é subespaço de \mathbb{R}^{4}.

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