1. Determine se o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, dado por T(x, y, z)=(x+4 y, 3 x+2 y, 5 z) é diagonalizável, usando o polinômio minimal.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z) = (\,x + 4y,\;3x + 2y,\;5z\,).
O conteúdo aqui é testar se T é diagonalizável usando o polinômio minimal. Um operador é diagonalizável em \mathbb{R}^3 se, e somente se, seu polinômio minimal se decompõe em fatores lineares distintos (raízes simples).

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}. Pelo enunciado,
T(e_1) = (1,3,0),\quad T(e_2) = (4,2,0),\quad T(e_3) = (0,0,5).
Portanto a matriz de T é
M = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\\\ 3 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar o polinômio minimal, observamos que M é bloco-diagonal, com o bloco
A = \begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}
no subespaço \mathrm{span}\{e_1,e_2\} e o escalar 5 em e_3. Primeiro, calculemos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 4 \\[4pt] 3 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda) -12 = \lambda^2 -3\lambda -10.
As raízes são \lambda = 5 e \lambda = -2. Portanto o polinômio característico de M é
\chi_M(\lambda) = (\lambda -5)^2(\lambda + 2).
]

Passo 4

O próximo passo é encontrar o polinômio minimal m_T(\lambda).
1. No bloco A, como os autovalores 5 e -2 são distintos, A é diagonalizável e seu polinômio minimal é
m_A(\lambda) = (\lambda -5)(\lambda +2).
2. No bloco 1\times1 correspondente a e_3, o operador age por 5z, cujo polinômio minimal é
m_{e_3}(\lambda) = (\lambda -5).
Como M é bloco-diagonal,
m_T(\lambda) = \mathrm{m.c.m.}\bigl(m_A(\lambda),\,m_{e_3}(\lambda)\bigr) = (\lambda -5)(\lambda +2).

Passo 5

Repare que
m_T(\lambda) = (\lambda -5)(\lambda +2)
não tem fator repetido: as raízes \lambda=5 e \lambda=-2 são simples. Logo o polinômio minimal se decompõe em fatores lineares distintos, o que implica que T é diagonalizável.

Resposta

T é diagonalizável, pois seu polinômio minimal é
m_T(\lambda) = (\lambda -5)(\lambda +2)
e não possui raízes múltiplas.

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