Determine se o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, dado por T(x, y, z)=(x+4 y, 3 x+2 y, 5 z) é diagonalizável, usando o polinômio minimal.
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z) = (\,x + 4y,\;3x + 2y,\;5z\,).
O conteúdo aqui é testar se T é diagonalizável usando o polinômio minimal. Um operador é diagonalizável em \mathbb{R}^3 se, e somente se, seu polinômio minimal se decompõe em fatores lineares distintos (raízes simples).
Passo 2
Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}. Pelo enunciado,
As raízes são \lambda = 5 e \lambda = -2. Portanto o polinômio característico de M é
\chi_M(\lambda) = (\lambda -5)^2(\lambda + 2).
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Passo 4
O próximo passo é encontrar o polinômio minimal m_T(\lambda). 1. No bloco A, como os autovalores 5 e -2 são distintos, A é diagonalizável e seu polinômio minimal é
m_A(\lambda) = (\lambda -5)(\lambda +2).
2. No bloco 1\times1 correspondente a e_3, o operador age por 5z, cujo polinômio minimal é
não tem fator repetido: as raízes \lambda=5 e \lambda=-2 são simples. Logo o polinômio minimal se decompõe em fatores lineares distintos, o que implica que T é diagonalizável.