Seja a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(y, x+y, x). Considere a base canônica para o domínio e contradomínio.
Identifique a matriz relacionada a esta transformação linear para esta base.
a. \quad[T]_{\beta}^{\beta}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)
b. \quad[T]_{\beta}^{\beta}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)
c. \quad[T]_{\beta}^{\beta}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)
d. \quad[T]_{\beta}^{\beta}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)
e. \quad[T]_{\beta}^{\beta}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por
T(x,y,z) = (y,\;x+y,\;x)
na base canônica \beta = \{e_1,e_2,e_3\}. Para encontrar essa matriz, basta calcular T(e_i) para i=1,2,3 e usar esses vetores como colunas.

Passo 2

Calcular T(e_1) com e_1=(1,0,0).
Pela definição,
T(1,0,0) = \bigl(y,\;x+y,\;x\bigr)\Big|_{(x,y,z)=(1,0,0)} = (0,\;1+0,\;1) = (0,1,1).
Logo, a primeira coluna da matriz é
\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular T(e_2) com e_2=(0,1,0).
T(0,1,0) = \bigl(y,\;x+y,\;x\bigr)\Big|_{(x,y,z)=(0,1,0)} = (1,\;0+1,\;0) = (1,1,0).
Assim, a segunda coluna da matriz é
\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular T(e_3) com e_3=(0,0,1).
T(0,0,1) = \bigl(y,\;x+y,\;x\bigr)\Big|_{(x,y,z)=(0,0,1)} = (0,\;0+0,\;0) = (0,0,0).
Portanto, a terceira coluna é
\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Montando a matriz cujas colunas são T(e_1), T(e_2) e T(e_3), obtemos
[T]_{\beta}^{\beta} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Comparando com as alternativas, esta é a opção (c).

Resposta

(c)

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