Indique quais das seguintes funções são transformações lineares.
(Atenção: Mais de uma alternativa pode ser verdadeira)
a. \quad T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}
T(x, y)=(x, x, x)
b. \quad T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}
T(x, y)=(x-y, 0)
c. \quad T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}
T(x, y)=(0,0)
d. \quad T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}
T(x, y)=(x y, y)
e. \quad T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}
T(x, y)=(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada caso, se T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^m é transformação linear. Lembrando que T é linear se, para todos u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c, valem
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
Também basta verificar se T(0)=0 e se T pode ser escrita como T(x,y)=A\,(x,y) para alguma matriz A.

Passo 2

Analisando a alternativa (a):
T(x,y)=(x,x,x).
Podemos escrever
T(x,y)=x\,(1,1,1)+y\,(0,0,0),
logo existe a matriz
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\\\ 1&0\end{pmatrix}
tal que T(x,y)=A\,(x,y). Além disso T(0,0)=(0,0,0). Portanto (a) é linear.

Passo 3

Analisando a alternativa (b):
T(x,y)=(x-y,0).
Isso equivale a
T(x,y)=x\,(1,0)+y\,(-1,0),
ou seja, existe a matriz
A=\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&0\end{pmatrix}
com T(x,y)=A\,(x,y) e T(0,0)=(0,0). Logo (b) é linear.

Passo 4

Analisando a alternativa (c):
T(x,y)=(0,0).
É o mapa nulo, que sempre satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v)=0 e T(cu)=c\,0=0. Equivalente a matriz zero. Assim (c) é linear.

Passo 5

Analisando a alternativa (d):
T(x,y)=(x\,y,y).
O termo x\,y não é linear em (x,y) (não se pode expressar como combinação linear das entradas), e T(0,0)=(0,0) mas falha a aditividade em geral. Logo (d) não é linear.

Passo 6

Analisando a alternativa (e):
T(x,y)=(1,1).
Aqui T(0,0)=(1,1)\neq(0,0), o que já viola a condição de linearidade. Portanto (e) não é linear.

Resposta

As transformações lineares são as alternativas (a), (b) e (c).

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