Nos Exercícios 5-7, use o método mostrado nos Exemplos 4 e 5 para encontrar a inversa da matriz dada se a matriz é invertível e confira sua resposta por multiplicação.
(c) \left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 5 & 0 \\\\ 1 & 3 & 5 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para inverter, por Gauss–Jordan, a matriz
A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 3 & 0 & 0\\\\ 1 & 3 & 5 & 0\\\\ 1 & 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}
Se for invertível, devemos montar \bigl[A\mid I_4\bigr] e usar operações elementares até obter \bigl[I_4\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Montamos o ampliado e eliminamos embaixo de a_{11}=1:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1&0&0&0&1&0&0&0\\\\ 1&3&0&0&0&1&0&0\\\\ 1&3&5&0&0&0&1&0\\\\ 1&3&5&7&0&0&0&1 \end{array}\right]
Fazendo R_2\gets R_2-R_1, R_3\gets R_3-R_1, R_4\gets R_4-R_1:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1&0&0&0&1&0&0&0\\\\ 0&3&0&0&-1&1&0&0\\\\ 0&3&5&0&-1&0&1&0\\\\ 0&3&5&7&-1&0&0&1 \end{array}\right]

Passo 3

Normalizamos o pivô 3 em R_2 e eliminamos abaixo na coluna 2:
R_2\gets\frac1{3}R_2 \quad\Longrightarrow\quad R_2=(0,1,0,0\mid -\tfrac13,\tfrac13,0,0)
R_3\gets R_3-3R_2,\quad R_4\gets R_4-3R_2
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1&0&0&0&1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0&-\tfrac13&\tfrac13&0&0\\\\ 0&0&5&0&0&-1&1&0\\\\ 0&0&5&7&0&-1&0&1 \end{array}\right]

Passo 4

Normalizamos o pivô 5 em R_3 e eliminamos abaixo na coluna 3:
R_3\gets\frac1{5}R_3 \quad\Longrightarrow\quad R_3=(0,0,1,0\mid 0,-\tfrac15,\tfrac15,0)
R_4\gets R_4-5R_3
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1&0&0&0&1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0&-\tfrac13&\tfrac13&0&0\\\\ 0&0&1&0&0&-\tfrac15&\tfrac15&0\\\\ 0&0&0&7&0&0&-1&1 \end{array}\right]

Passo 5

Normalizamos o pivô 7 em R_4. Não há mais elementos a eliminar, pois já éramos triangulares:
R_4\gets\frac1{7}R_4 \quad\Longrightarrow\quad R_4=(0,0,0,1\mid 0,0,-\tfrac17,\tfrac17)
Agora à esquerda está I_4, então o bloco direito é A^{-1}.

Resposta

A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -\tfrac13 & \tfrac13 & 0 & 0\\\\ 0 & -\tfrac15 & \tfrac15 & 0\\\\ 0 & 0 & -\tfrac17 & \tfrac17 \end{pmatrix}.

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