(1 pt) Seja A=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 1 & -1 \\\\ -7 & 5 & -1 \\\\ -6 & 6 & -2\end{array}\right). Pede-se:
(a) Mostre, por definição, que o vetor \vec{v}=(0,2,2) é um autovetor de A.
(b) Mostre que p(\lambda)=-\lambda^{3}+12 \lambda+16=-(\lambda+2)^{2}(\lambda-4) é o polinômio característico de A.
(c) Determine os autovalores de A.
(d) Determine, para cada autovalor \lambda, o autoespaço V(\lambda) e suas dimensão.
(e) A matriz A é diagonalizável? Justifique sua resposta!
e pede: (a) verificar que \vec v=(0,2,2) é autovetor, (b) achar o polinômio característico p(\lambda) e mostrar que ele é -\lambda^3+12\lambda+16=-(\lambda+2)^2(\lambda-4), (c) determinar os autovalores, (d) para cada autovalor achar o autoespaço V(\lambda) e sua dimensão, e (e) decidir se A é diagonalizável. Vamos usar definição de autovetor A\vec v=\lambda\vec v, cálculo de determinante para o polinômio característico, resolução de sistemas lineares para os autoespaços e o critério de diagonalizabilidade pela soma das dimensões geométricas.
Passo 2
Para mostrar que \vec v=(0,2,2) é autovetor, calculamos
e em particular \dim V(-2)=1<2 (multiplicidade algébrica), não há base de \mathbb R^3 formada por autovetores. Portanto, A não é diagonalizável.
Resposta
(a) A\vec v=4\vec v, logo \vec v é autovetor de autovalor 4.
(b) p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+12\lambda+16=-(\lambda+2)^2(\lambda-4).
(c) Os autovalores são \lambda=-2 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=4 (multiplicidade algébrica 1).
(d) V(4)=\mathrm{Span}\{(0,1,1)\}, \dim V(4)=1; \,V(-2)=\mathrm{Span}\{(1,1,0)\}, \dim V(-2)=1.
(e) A não é diagonalizável, pois \dim V(-2)=1<2.