(1 pt) Seja A=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 1 & -1 \\\\ -7 & 5 & -1 \\\\ -6 & 6 & -2\end{array}\right). Pede-se:
(a) Mostre, por definição, que o vetor \vec{v}=(0,2,2) é um autovetor de A.
(b) Mostre que p(\lambda)=-\lambda^{3}+12 \lambda+16=-(\lambda+2)^{2}(\lambda-4) é o polinômio característico de A.
(c) Determine os autovalores de A.
(d) Determine, para cada autovalor \lambda, o autoespaço V(\lambda) e suas dimensão.
(e) A matriz A é diagonalizável? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -1\\\\ -7 & 5 & -1\\\\ -6 & 6 & -2 \end{pmatrix}
e pede: (a) verificar que \vec v=(0,2,2) é autovetor, (b) achar o polinômio característico p(\lambda) e mostrar que ele é -\lambda^3+12\lambda+16=-(\lambda+2)^2(\lambda-4), (c) determinar os autovalores, (d) para cada autovalor achar o autoespaço V(\lambda) e sua dimensão, e (e) decidir se A é diagonalizável. Vamos usar definição de autovetor A\vec v=\lambda\vec v, cálculo de determinante para o polinômio característico, resolução de sistemas lineares para os autoespaços e o critério de diagonalizabilidade pela soma das dimensões geométricas.

Passo 2

Para mostrar que \vec v=(0,2,2) é autovetor, calculamos
A\vec v = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -1\\\\ -7 & 5 & -1\\\\ -6 & 6 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 +(-1)\cdot2\\\\ 5\cdot2 +(-1)\cdot2\\\\ 6\cdot2 +(-2)\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 8\\\ 8\end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix} =4\vec v,
logo \vec v é autovetor de autovalor \lambda=4.

Passo 3

Para obter o polinômio característico, consideramos
A - \lambda I = \begin{pmatrix} -3-\lambda & 1 & -1\\\\ -7 & 5-\lambda & -1\\\\ -6 & 6 & -2-\lambda \end{pmatrix}
e calculamos
p(\lambda) = \det(A-\lambda I) = -\lambda^3 +12\lambda +16.

Passo 4

Fatorando, temos
-\lambda^3+12\lambda+16 = -\bigl(\lambda^3-12\lambda-16\bigr) = -(\lambda+2)^2(\lambda-4).
Os autovalores então são
\lambda_1=-2\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2=4\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 5

Para \lambda=4 resolvemos (A-4I)x=0, isto é
\begin{pmatrix} -7 & 1 & -1\\\\ -7 & 1 & -1\\\\ -6 & 6 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Dessas equações vem x=0 e y=z. Logo
V(4)=\{(0,t,t)\mid t\in\mathbb R\} =\mathrm{Span}\{(0,1,1)\},
com \dim V(4)=1.

Passo 6

Para \lambda=-2 resolvemos (A+2I)x=0, ou seja
\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\\\ -7 & 7 & -1\\\\ -6 & 6 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Dessas equações vem z=0 e y=x. Logo
V(-2)=\{(t,t,0)\mid t\in\mathbb R\} =\mathrm{Span}\{(1,1,0)\},
com \dim V(-2)=1.

Passo 7

Como a soma das dimensões dos autoespaços é
\dim V(4)+\dim V(-2)=1+1=2<3
e em particular \dim V(-2)=1<2 (multiplicidade algébrica), não há base de \mathbb R^3 formada por autovetores. Portanto, A não é diagonalizável.

Resposta

(a) A\vec v=4\vec v, logo \vec v é autovetor de autovalor 4.
(b) p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+12\lambda+16=-(\lambda+2)^2(\lambda-4).
(c) Os autovalores são \lambda=-2 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=4 (multiplicidade algébrica 1).
(d) V(4)=\mathrm{Span}\{(0,1,1)\}, \dim V(4)=1;
\,V(-2)=\mathrm{Span}\{(1,1,0)\}, \dim V(-2)=1.
(e) A não é diagonalizável, pois \dim V(-2)=1<2.

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