Considere a matriz:
A=(lll 3 & 3 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 )
Determine uma matriz P que é invertível para a qual temos que P^-1 A P é uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz invertível P tal que P^-1AP seja diagonal. \r
O conteúdo aqui é diagonalização de matriz: precisamos achar autovalores de A, depois autovetores independentes e montar P cujas colunas são esses autovetores.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo, o polinômio característico é
det(A-lambda I) =(3-lambda)(2-lambda)(3-lambda),
e os autovalores são lambda1=3 (multiplicidade algébrica 2) e lambda2=2 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 3

Para lambda=3 resolvemos (A-3I)v=0.
Temos
A-3I = 0 & 3 & 0 0 & -1& 0 0 & 0 & 0 ,
de onde as equações são 3y=0 e -y=0, isto é y=0, e x,z livres.
Dois vetores independentes são
v^(1)=(1,0,0)^T, v^(2)=(0,0,1)^T

Passo 4

Para lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0.
Aqui
A-2I = 1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ,
de onde x+3y=0 e z=0. Escolhendo y=1 obtemos o autovetor
v^(3)=(-3,1,0)^T

Passo 5

Colocamos em P as colunas com esses autovetores, obedecendo a ordem dos autovalores em P^-1AP. Se quisermos
P^-1AP=diag(3,3,2),
podemos tomar
P= 1 & 0 & -3 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ,
cujo determinante é -1neq0, logo P é invertível.

Resposta

P= 1 & 0 & -3 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ,
pois para ela vale
P^-1AP= 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 2

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