Considere a matriz A=[lll2 & 0 & 1 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2] e os vetores x=[c1 3 -1] e y=[l4 1 2]
Use os autovalores e autovetores de A para calcular a expressão indicada em cada caso
(a) A^6 x
(b) A^7 y
(c) A^10 y-A^8 x
(d) A^20(2 x+3 y)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 2 & 0 & 1 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2
e os vetores
x = 13-1, y = 412
Queremos calcular potências de A aplicadas a x e y. O método mais eficiente é diagonalizar A: se A=PDP^-1, então A^n = P,D^n,P^-1 e basta elevar os autovalores.

Passo 2

Para achar os autovalores, escrevemos o polinômio característico
det(A-lambda I) =det2-lambda & 0 & 1 1 & 1-lambda & 1 1 & 0 & 2-lambda
Expandindo pela segunda coluna,
det(A-lambda I) =(1-lambda)l((2-lambda)^2 - 1r) =(1-lambda)(lambda^2 - 4lambda + 3) =(1-lambda)^2(lambda-3)
Logo os autovalores são lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=3.

Passo 3

Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0, obtendo v1+v3=0. Dois autovetores independentes são
u1 = -101, u2 = 010
Para lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0 e achamos v1=v2=v3. Um autovetor é
v3 = 111

Passo 4

Expressamos x na base u1,u2,v3. Procuramos alpha,beta,gamma tais que
alpha u1 + beta u2 + gamma v3 = 13-1
Isso leva ao sistema
-alpha + gamma = 1, beta + gamma = 3, alpha + gamma = -1,
cuja solução é alpha=-1, beta=3, gamma=0. Logo
x = -u1 + 3u2 + 0cdot v3
Como u1 e u2 correspondem ao autovalor 1, temos
A^n x = 1^n(-u1+3u2) = -u1 + 3u2 = x para todo n>=1
Portanto
A^6,x = x = 13-1

Passo 5

Para y procedemos igual. Escrevemos
y = alpha u1 + beta u2 + gamma v3
e obtemos alpha=-1, beta=-2, gamma=3. Então
y = -u1 - 2u2 + 3v3,
e
A^n y = -u1 - 2u2 + 3cdot 3^n,v3
Para n=7,
A^7y = -u1 - 2u2 + 3cdot 3^7,v3 = -u1 - 2u2 + 3^8,v3
Em base canônica
-u1 - 2u2 = 1-2-1, 3^8,v3 = 656165616561,
logo
A^7y = 656265596560

Passo 6

Para A^10y - A^8x usamos
A^10y = -u1 - 2u2 + 3^11,v3, A^8x = x = -u1 + 3u2
Subtraindo,
A^10y - A^8x = (-u1 - 2u2) - (-u1 + 3u2) + 3^11v3 = -5u2 + 3^11v3
Em coordenadas canônicas
-5u2 = 0-50, 3^11v3 = 177147177147177147,
então
A^10y - A^8x = 177147177142177147

Passo 7

Por fim, para A^20(2x+3y) escrevemos
2x = 2(-u1+3u2), 3y = 3(-u1-2u2+3v3),
e
A^20(2x+3y) = 2x + 3,A^20y = 2(-u1+3u2) + 3l(-u1-2u2+3^21v3r) = -5u1 + 3^22v3
Em base canônica
-5u1 = 50-5, 3^22v3 = 3^223^223^22,
logo
A^20(2x+3y) = 3^22+53^223^22-5

Resposta

(a) 13-1
(b) 656265596560
(c) 177147177142177147
(d) 3^22+53^223^22-5

Exercícios relacionados