Mostre que o conjunto W=(x, y, z, w) in R^4: x+y+z+w=1 não é um subespaço de R^4.

Passo 1

O conjunto
W = (x,y,z,w)inR^4 mid x+y+z+w = 1
é um subconjunto de R^4 definido por uma equação linear. Para que W seja subespaço vetorial de R^4, ele precisa, em particular, conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

O vetor zero de R^4 é
0 = (0,0,0,0)
Se 0 pertencesse a W, teríamos
0 + 0 + 0 + 0 = 1,
mas isso dá 0 = 1, absurdo. Logo 0notin W, e W falha no critério de conter o vetor zero.

Resposta

W não é subespaço de R^4, pois não contém o vetor zero.

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