Mostre que o conjunto de todas as matrizes diagonais
com entradas reais forma um subespaço. Determine uma base e sua dimensão.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é um subespaço de
. Em seguida, determinar uma base de
e sua dimensão. Vamos usar a definição de subespaço (conter o vetor zero, fechado em soma e escalar) e depois encontrar vetores que gerem todo
de modo independente.
Passo 2
Mostramos que
é um subespaço de
:
- A matriz zero
é diagonal, logo . - Se
então é diagonal, logo . - Se
e como acima, então é diagonal, logo .
Pelos três itens,é subespaço.
Passo 3
Qualquer matriz diagonal
pode ser escrita como
Isto mostra que os vetores
geram todo
.
Passo 4
Para verificar independência, consideremos
Isso dá
e daí
e
. Logo
é linearmente independente.
Resposta
Uma base de
é
Portanto
.