Mostre que o conjunto de todas as matrizes diagonais 2 times 2 com entradas reais forma um subespaço. Determine uma base e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
D = lAin M2times2(R)mid A é diagonalr é
é um subespaço de M2times2(R). Em seguida, determinar uma base de D e sua dimensão. Vamos usar a definição de subespaço (conter o vetor zero, fechado em soma e escalar) e depois encontrar vetores que gerem todo D de modo independente.

Passo 2

Mostramos que D é um subespaço de M2times2(R):
  1. A matriz zero 0 = 0 & 00 & 0 é diagonal, logo 0in D.
  2. Se A=a & 00 & b, B=c & 00 & d então A+B=a+c & 00 & b+d é diagonal, logo A+Bin D.
  3. Se lambdainR e A como acima, então lambda A=lambda a & 00 & lambda b é diagonal, logo lambda Ain D.
    Pelos três itens, D é subespaço.

Passo 3

Qualquer matriz diagonal Ain D pode ser escrita como
A=a & 00 & b = a1 & 00 & 0 + b0 & 00 & 1
Isto mostra que os vetores
E11 = 1 & 00 & 0, E22 = 0 & 00 & 1
geram todo D.

Passo 4

Para verificar independência, consideremos
alpha,E11 + beta,E22 = 0
Isso dá
alpha & 00 & beta = 0 & 00 & 0
e daí alpha=0 e beta=0. Logo E11,E22 é linearmente independente.

Resposta

Uma base de D é
E11 = 1 & 00 & 0, E22 = 0 & 00 & 1
Portanto dim(D)=2.

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