Considere uma matriz A com m linhas e n colunas. Determine se é verdadeiro ou falso:
se m>n então as colunas de A são LIs

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz com m linhas e n colunas e pergunta se, sempre que m>n, as colunas de A são necessariamente linearmente independentes. O conteúdo aqui é independência linear de colunas de uma matriz e a relação com o posto (rank).

Passo 2

Lembrando que um conjunto de n vetores em R^m só pode ser linearmente independente se n<= m. Aqui, temos n<m, então essa condição necessária está satisfeita, mas não basta: para serem L.I. é preciso que
rank(A)=n
Não há nada em m>n que garanta rank(A)=n; só sabemos que
rank(A)<= min(m,n)=n

Passo 3

Basta um contraexemplo. Tome, por exemplo,
A = 0mtimes n,
a matriz nula. Nesse caso rank(A)=0<n, logo as colunas são linearmente dependentes, mesmo com m>n.

Resposta

Falso.

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