Considere uma matriz A com m linhas e
colunas. Determine se é verdadeiro ou falso:
se
então as colunas de A são LIs
se
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz com
linhas e
colunas e pergunta se, sempre que
, as colunas de
são necessariamente linearmente independentes. O conteúdo aqui é independência linear de colunas de uma matriz e a relação com o posto (rank).
Passo 2
Lembrando que um conjunto de
vetores em
só pode ser linearmente independente se
. Aqui, temos
, então essa condição necessária está satisfeita, mas não basta: para serem L.I. é preciso que
Não há nada em
que garanta
; só sabemos que
Passo 3
Basta um contraexemplo. Tome, por exemplo,
a matriz nula. Nesse caso
, logo as colunas são linearmente dependentes, mesmo com
.
Resposta
Falso.