Considere uma matriz A com m linhas e n colunas. Determine se é verdadeiro ou falso:
se m<n então o núcleo de A contém uma reta.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz AinR^mtimes n com m<n e pergunta se o núcleo ker(A) contém uma reta. O conteúdo necessário é o Teorema da Dimensão (ou rank–nullity).

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão, vale
diml(ker(A)r) + rank(A) = n
Como rank(A)<= m e m<n, segue que
diml(ker(A)r)>= n - m > 0

Passo 3

Se dim(ker(A))>=1, existe um vetor não nulo vinker(A). Então o conjunto
,t,vmid tinR
é uma reta (linha) contida em ker(A).

Passo 4

Logo, sempre que m<n temos dim(ker(A))>0 e, portanto, ker(A) contém pelo menos uma reta.

Resposta

Verdadeiro.

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