Considere a matriz A=[ll2 & 0 4 & 1]. Mostre que A^2-2 A-3 I2 é idempotente.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 2 & 0[6pt]4 & 1
e pede para mostrar que
E ;=; A^2 ;-;2A;-;3I2
é idempotente, ou seja, que E^2=E. Vamos calcular A^2, depois E e por fim E^2.]

Passo 2

Calcular A^2.
A^2 ;=; 2 & 04 & 1 2 & 04 & 1 = 2cdot2 + 0cdot4 & 2cdot0 + 0cdot1[6pt] 4cdot2 + 1cdot4 & 4cdot0 + 1cdot1 = 4 & 012 & 1 ]

Passo 3

Calcular
E ;=; A^2 ;-;2A;-;3I2
Primeiro A^2-2A:
A^2-2A = 4 & 012 & 1 - 4 & 08 & 2 = 0 & 04 & -1
Agora subtraímos 3I2:
E = 0 & 04 & -1 - 3 & 00 & 3 = -3 & 04 & -4

Passo 4

Calcular E^2:
E^2 = -3 & 04 & -4 -3 & 04 & -4 = (-3)(-3)+0cdot4 & (-3)cdot0 + 0cdot(-4)[6pt] 4cdot(-3)+(-4)cdot4 & 4cdot0 + (-4)(-4) = 9 & 0-28 & 16 ]

Passo 5

Comparando E^2 com E:
E^2=9 & 0-28 & 16, E=-3 & 04 & -4,
vemos que E^2neq E. Portanto E não satisfaz E^2=E e não é idempotente. Há, assim, uma inconsistência no enunciado: A^2-2A-3I2 não é idempotente.

Resposta

O enunciado está incorreto: calculamos
E = A^2-2A-3I2 = -3 & 04 & -4
e
E^2 = 9 & 0-28 & 16neq E,
logo E não é idempotente (não satisfaz E^2=E).

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