Considere a matriz A=[cc3 & 0 8 & -1]. Mostre que A^2-2 A-3 I é igual a matriz nula.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 3 & 0 8 & -1
e pede para mostrar que
A^2 - 2A - 3I = 0,
onde I é a matriz identidade 2times2. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e operações com polinômios de matrizes.

Passo 2

Para calcular A^2 multiplicamos A por si própria:
A^2 = 3 & 0 8 & -1 3 & 0 8 & -1 = 3cdot3 + 0cdot8 & 3cdot0 + 0cdot(-1) 8cdot3 + (-1)cdot8 & 8cdot0 + (-1)cdot(-1) = 9 & 0 16 & 1

Passo 3

Agora calculamos A^2 - 2A. Primeiro,
2A = 2 3 & 0 8 & -1 = 6 & 0 16 & -2,
então
A^2 - 2A = 9 & 0 16 & 1 - 6 & 0 16 & -2 = 9-6 & 0-0 16-16 & 1-(-2) = 3 & 0 0 & 3

Passo 4

Por fim, subtraímos 3I, onde
3I = 3 1 & 0 0 & 1 = 3 & 0 0 & 3
Logo,
A^2 - 2A - 3I = 3 & 0 0 & 3 - 3 & 0 0 & 3 = 0 & 0 0 & 0,
que é a matriz nula.

Resposta

A^2 - 2A - 3I = 0 & 0 0 & 0

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