Seja a matriz S=[ll1 & 2 0 & 1]. Determine a matriz B tal que B^2=S.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz BinR^2times 2 tal que
B^2=S,
onde
S=1 & 2[6pt]0 & 1
O conteúdo envolvido é o de raízes de matrizes, em particular usar o fato de que
;S=I+N, com N nilpotente ( N^2=0), o que nos permite escrever a raiz quadrada como uma combinação linear de I e N.]

Passo 2

Definimos
N = S - I = 1 & 2[3pt]0 & 1 - 1 & 0[3pt]0 & 1 = 0 & 2[3pt]0 & 0
Note que
N^2 = 0 & 20 & 0 0 & 20 & 0 = 0 & 00 & 0 ]

Passo 3

Procuramos uma solução na forma
B = a,I + b,N,
com a,binR. Então
B^2 = (aI + bN)^2 = a^2I + 2ab,N + b^2N^2 = a^2I + 2ab,N,
pois N^2=0.

Passo 4

Queremos B^2 = S = I + N. Comparando coeficientes em I e em N obtemos o sistema
a^2 = 1, 2ab = 1
Da primeira equação vem a=pm1. Substituindo na segunda, b = tfrac12a. Logo as soluções são
a=1,;b=tfrac12 Longrightarrow B = I + tfrac12,N =1 & 1[3pt]0 & 1,
ou
a=-1,;b=-tfrac12 Longrightarrow B = -I - tfrac12,N =-1 & -1[3pt]0 & -1 ]

Resposta

Uma escolha simples (a “raiz principal”) é
B = 1 & 1[3pt]0 & 1,
pois de fato
B^2 = 1 & 10 & 1^2 = 1 & 20 & 1 = S
Alternativamente, também serve
;B = -1 & -10 & -1.]

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