Determine o espaço-solução do sistema linear abaixo e o interprete geometricamente fornecendo a dimensão e lugar geométrico correspondente.
cc x-4 y-3 z= & 2 3 x-12 y-9 z= & 6 x+y+z= & 1

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
x-4y-3z=2, 3x-12y-9z=6, x+y+z=1,
que é um sistema linear em três incógnitas. O conteúdo da matéria é resolução de sistemas por escalonamento e geometricamente reconhecer que a solução forma um subespaço afim de dimensão igual ao número de variáveis menos o posto da matriz dos coeficientes. Vamos achar a solução geral e depois interpretar seu lugar geométrico em R^3.

Passo 2

Observamos que a segunda equação é exatamente 3 vezes a primeira, pois
3,(x-4y-3z)=3x-12y-9z=6
Logo, há apenas duas equações independentes em três variáveis. O posto do sistema é 2 e o número de incógnitas é 3, de modo que a solução terá um grau de liberdade ( 3-2=1), caracterizando uma reta em R^3.

Passo 3

Escolhemos z como parâmetro livre e chamamos z=t. A partir da primeira equação
x-4y-3z=2
escrevemos
x = 2+4y+3t
Substituindo x e z=t na terceira equação
x+y+z=1
temos
(2+4y+3t)+y+t=1 ;Longrightarrow; 5y+4t+2=1 ;Longrightarrow; 5y+4t=-1 ;Longrightarrow; y=-1-4t5
Então
x=2+4l(-1-4t5r)+3t =2-45-16t5+3t =65-16t5+15t5 =6-t5

Passo 4

Temos assim a parametrização da solução:
x=dfrac6-t5, y=dfrac-1-4t5, z=t, tinR
Em forma vetorial, escrevemos
(x,y,z) =l(tfrac65,-tfrac15,0r) +t,l(-tfrac15,-tfrac45,1r)

Passo 5

Geometricamente, a solução é um conjunto de pontos que formam uma reta no espaço. Trata-se de um subespaço afim de dimensão 1 (uma reta), pois há um parâmetro livre.

Resposta

O espaço-solução é
l(x,y,z)inR^3 mid (x,y,z)=l(tfrac65,-tfrac15,0r) +t,l(-tfrac15,-tfrac45,1r),;tinR l
A dimensão da solução é 1 e o lugar geométrico correspondente é uma reta em R^3.

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