Determine o espaço-solução do sistema linear abaixo e o interprete geometricamente fornecendo a dimensão e lugar geométrico correspondente.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
x-4y-3z=2, 3x-12y-9z=6, x+y+z=1,
que é um sistema linear em três incógnitas. O conteúdo da matéria é resolução de sistemas por escalonamento e geometricamente reconhecer que a solução forma um subespaço afim de dimensão igual ao número de variáveis menos o posto da matriz dos coeficientes. Vamos achar a solução geral e depois interpretar seu lugar geométrico em R^3.
Passo 2
Observamos que a segunda equação é exatamente 3 vezes a primeira, pois
3,(x-4y-3z)=3x-12y-9z=6
Logo, há apenas duas equações independentes em três variáveis. O posto do sistema é 2 e o número de incógnitas é 3, de modo que a solução terá um grau de liberdade (3-2=1), caracterizando uma reta em R^3.
Passo 3
Escolhemos z como parâmetro livre e chamamos z=t. A partir da primeira equação
Geometricamente, a solução é um conjunto de pontos que formam uma reta no espaço. Trata-se de um subespaço afim de dimensão 1 (uma reta), pois há um parâmetro livre.
Resposta
O espaço-solução é
l(x,y,z)inR^3 mid (x,y,z)=l(tfrac65,-tfrac15,0r) +t,l(-tfrac15,-tfrac45,1r),;tinR l
A dimensão da solução é 1 e o lugar geométrico correspondente é uma reta em R^3.