Considere a matriz mudança de base:
[P]_{C}^{B}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right]
Determine:
[u]_{C}\) onde \[u]_{B}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right];]

Passo 1

O enunciado dá a matriz de mudança de base de B para C:
[P]_{C}^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
e pede o vetor [u]_{C} sabendo que
[u]_{B} = \begin{pmatrix}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{pmatrix}.
O conteúdo envolve mudança de base e multiplicação de matriz por vetor.

Passo 2

Para mudar coordenadas de B para C usamos a fórmula
[u]_{C} \;=\; [P]_{C}^{B}\,[u]_{B}.
Isto acontece porque as colunas de [P]_{C}^{B} são justamente as coordenadas, em C, dos vetores de base de B.

Passo 3

Aplicando a multiplicação
[u]_{C} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{pmatrix}
calculamos cada entrada:
\begin{aligned} \text{1ª linha: } &1\cdot(-1) + 1\cdot2 + 0\cdot3 = -1 + 2 + 0 = 1,\\\ \text{2ª linha: } &0\cdot(-1) + (-1)\cdot2 + 1\cdot3 = 0 -2 + 3 = 1,\\\ \text{3ª linha: } &1\cdot(-1) + 0\cdot2 + (-1)\cdot3 = -1 + 0 -3 = -4. \end{aligned}ªªª

Passo 4

Reagrupando os resultados, obtemos
[u]_{C} = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1 \\\\ -4\end{pmatrix}.

Resposta

[u]_{C} = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1 \\\\ -4\end{pmatrix}.

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