Considere a matriz mudança de base:
[P]_{C}^{B}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right]
Determine:
[u]_{B}\) onde \[u]_{C}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right].]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de mudança de base de C para B, denotada por [P]_{C}^{B}, e o vetor [u]_{C}. Para encontrar [u]_{B}, usamos a relação
[u]_{B} \;=\; [P]_{C}^{B}\,[u]_{C}.

Passo 2

Escrevendo a multiplicação matricial explicitamente:
[u]_{B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\[6pt] 2 \\[6pt] 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos cada componente de [u]_{B} somando o produto dos elementos de cada linha de [P]_{C}^{B} pelos componentes de [u]_{C}:
O primeiro componente é
1\cdot(-1) + 1\cdot2 + 0\cdot3 = -1 + 2 = 1.
O segundo componente é
0\cdot(-1) + (-1)\cdot2 + 1\cdot3 = -2 + 3 = 1.
O terceiro componente é
1\cdot(-1) + 0\cdot2 + (-1)\cdot3 = -1 - 3 = -4.
Portanto,
[u]_{B} = (1,\,1,\,-4)^{T}.

Resposta

[u]_{B} = \begin{bmatrix}1 \\\\ 1 \\\\ -4\end{bmatrix}.

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