Seja
o espaço vetorial das matrizes simétricas
. Mostre que
e exiba uma base de
.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial de todas as matrizes simétricas
. Queremos mostrar que
e encontrar explicitamente uma base de
. Para isso, vamos (1) escrever a forma geral de uma matriz simétrica
, (2) identificar quantos graus de liberdade ela tem e (3) mostrar um conjunto de matrizes que gera todo
e é linearmente independente.
Passo 2
Uma matriz
é simétrica, ou seja,
. Se
a simetria impõe
. Logo todo
pode ser escrita como
onde
. Vemos aí três parâmetros livres:
,
e
.
Passo 3
Podemos reescrever
Isto mostra que qualquer matriz simétrica
é combinação linear das três matrizes
Portanto,
gera
.
Passo 4
Para ver que
é linearmente independente, suponha
para alguns escalares
. Escrevendo em componentes, temos
Isto obriga
,
e
. Logo os três são LI.
Passo 5
Como
é um conjunto de três vetores que gera
e é linearmente independente, concluímos que é uma base de
e que
Resposta
Uma base de