Seja V o espaço vetorial das matrizes simétricas 2 \times 2. Mostre que \operatorname{dim} V=3 e exiba uma base de V.

Passo 1

O enunciado define V como o espaço vetorial de todas as matrizes simétricas 2\times2. Queremos mostrar que \dim V=3 e encontrar explicitamente uma base de V. Para isso, vamos (1) escrever a forma geral de uma matriz simétrica 2\times2, (2) identificar quantos graus de liberdade ela tem e (3) mostrar um conjunto de matrizes que gera todo V e é linearmente independente.

Passo 2

Uma matriz A\in V é simétrica, ou seja, A^T=A. Se
A = \begin{pmatrix}x & y\\\ z & w\end{pmatrix},
a simetria impõe y=z. Logo todo A\in V pode ser escrita como
A = \begin{pmatrix}x & y\\\ y & w\end{pmatrix},
onde x,y,w\in\mathbb{R}. Vemos aí três parâmetros livres: x, y e w.

Passo 3

Podemos reescrever
\begin{pmatrix}x & y\\\ y & w\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 &0\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 &0\end{pmatrix} + w\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 &1\end{pmatrix}.
Isto mostra que qualquer matriz simétrica 2\times2 é combinação linear das três matrizes
E_1 = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 &0\end{pmatrix},\quad E_2 = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 &0\end{pmatrix},\quad E_3 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 &1\end{pmatrix}.
Portanto, \{E_1,E_2,E_3\} gera V.

Passo 4

Para ver que \{E_1,E_2,E_3\} é linearmente independente, suponha
\alpha_1E_1 + \alpha_2E_2 + \alpha_3E_3 = 0
para alguns escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3. Escrevendo em componentes, temos
\begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2\\\ \alpha_2 & \alpha_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Isto obriga \alpha_1=0, \alpha_2=0 e \alpha_3=0. Logo os três são LI.

Passo 5

Como \{E_1,E_2,E_3\} é um conjunto de três vetores que gera V e é linearmente independente, concluímos que é uma base de V e que
\dim V = 3.

Resposta

\dim V = 3.
Uma base de V é
E_1 = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 &0\end{pmatrix},\quad E_2 = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 &0\end{pmatrix},\quad E_3 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 &1\end{pmatrix}.

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