Seja o operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}
dado por:
T(x, y)=(8 x+4 y,-6 x-2 y)
Determine, caso existam, os autovalores de T e seus respectivos autovetores.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\qquad T(x,y) = (8x + 4y,\,-6x - 2y).
Este é um problema de Álgebra Linear: escrevemos T como matriz na base canônica, calculamos a equação característica \det(A - \lambda I)=0, achamos os valores de \lambda e, em seguida, os espaços próprios para cada \lambda.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix}8 & 4\\\ -6 & -2\end{pmatrix}.
Os autovalores são as raízes de
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}8-\lambda & 4\\\ -6 & -2-\lambda\end{pmatrix} = (8-\lambda)(-2-\lambda) - 4\cdot(-6).
Desenvolvendo:
(8-\lambda)(-2-\lambda) + 24 = -\bigl(16 +6\lambda -\lambda^2\bigr) + 24 = \lambda^2 -6\lambda +8.

Passo 3

A equação característica é
\lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0.
Calculando o discriminante:
\Delta = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot8 = 36 - 32 = 4,
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\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 = 4,\;\lambda_2 = 2.

Passo 4

Para \lambda_1 = 4, resolvemos (A - 4I)v = 0:
\begin{pmatrix}8-4 & 4\\\ -6 & -2-4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 4\\\ -6 & -6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem 4x + 4y = 0, isto é, y = -x.
Então os autovetores associados a \lambda=4 são todos os múltiplos de (1,-1).

Passo 5

Para \lambda_2 = 2, resolvemos (A - 2I)v = 0:
\begin{pmatrix}8-2 & 4\\\ -6 & -2-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 4\\\ -6 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem 6x + 4y = 0, isto é, y = -\tfrac{3}{2}x.
Escolhendo x=2 para evitar frações, um autovetor é (2,-3).

Resposta

\displaystyle \lambda_1 = 4, com autovetores proporcionais a (1,-1).
\displaystyle \lambda_2 = 2, com autovetores proporcionais a (2,-3).

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