Seja o operador linear
dado por:
Determine, caso existam, os autovalores de
e seus respectivos autovetores.
dado por:
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear
Este é um problema de Álgebra Linear: escrevemos
como matriz na base canônica, calculamos a equação característica
, achamos os valores de
e, em seguida, os espaços próprios para cada
.
Passo 2
A matriz de
na base canônica é
Os autovalores são as raízes de
Desenvolvendo:
Passo 3
A equação característica é
Calculando o discriminante:
logo
Passo 4
Para
, resolvemos
:
Da primeira linha vem
, isto é,
.
Então os autovetores associados a são todos os múltiplos de
.
Então os autovetores associados a
Passo 5
Para
, resolvemos
:
Da primeira linha vem
, isto é,
.
Escolhendo para evitar frações, um autovetor é
.
Escolhendo