Considere a matriz A=[cccca11 & 0 & cdots & 0 0 & a22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & an n], onde a11 a22 ldots an n neq 0. Determine A^-1, a inversa de A, se existir.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz quadrada A de ordem n que é diagonal, ou seja,
A = a11 & 0 & cdots & 0 0 & a22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & ann
e informa que a11a22cdots annneq0. O conteúdo é inversão de matrizes diagonais e vamos precisar usar a propriedade de que o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal e que o inverso de uma matriz diagonal também é diagonal.

Passo 2

Para que A seja invertível, precisamos de det(A)neq0. Como A é diagonal,
det(A)=a11,a22,cdots,ann
O enunciado afirma que esse produto não é zero, logo det(A)neq0 e A é invertível.

Passo 3

Sabendo que o inverso de uma matriz diagonal também é diagonal, proponho
A^-1 = b11 & 0 & cdots & 0 0 & b22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & bnn
Para A^-1 ser de fato o inverso, deve valer A,A^-1=In. Ao multiplicar matrizes diagonais obtemos
A,A^-1 = a11b11 & 0 & cdots & 0 0 & a22b22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & annbnn
e queremos que isso seja a identidade In, ou seja, (A,A^-1)ii=1 para todo i.

Passo 4

Impondo aiibii=1 para cada i=1,2,dots,n, obtemos
bii = 1aii
Não há outras condições porque as posições fora da diagonal já são zero e coincidem com as de In.

Resposta

A^-1 = 1a11 & 0 & cdots & 0 [6pt] 0 & 1a22 & cdots & 0 [6pt] vdots & vdots & ddots & vdots [3pt] 0 & 0 & cdots & 1ann ]

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