Dado um número real , considere a matriz .
(a) Dados e em , mostre que .
(b) Calcule .
(c) Mostre que para todo número a matriz é ortogonal.
Passo 1
O enunciado nos dá a família de matrizes de rotação no plano
Precisamos (a) provar que , (b) calcular e (c) mostrar que cada é ortogonal. Usaremos multiplicação de matrizes, as fórmulas de soma de ângulos na trigonometria e a definição de matriz ortogonal.
Passo 2
Para (a), multiplicamos
Calculando elemento a:
Elemento a:
Elemento a:
Elemento a:
Portanto
Passo 3
Para (b), substituímos em . Como
segue
Passo 4
Para (c), lembramos que uma matriz M é ortogonal se M^TM=I. Note que a transposta de Talpha é