Dado um número real alpha, considere a matriz Talpha=[cccos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha].
(a) Dados alpha e beta em R, mostre que Talpha cdot Tbeta=Talpha+beta.
(b) Calcule T-alpha.
(c) Mostre que para todo número alpha a matriz Talpha é ortogonal.

Passo 1

O enunciado nos dá a família de matrizes de rotação no plano
Talpha = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha
Precisamos (a) provar que TalphaTbeta=Talpha+beta, (b) calcular T-alpha e (c) mostrar que cada Talpha é ortogonal. Usaremos multiplicação de matrizes, as fórmulas de soma de ângulos na trigonometria e a definição de matriz ortogonal.

Passo 2

Para (a), multiplicamos
TalphaTbeta = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha cos beta & -sin beta sin beta & cos beta
Calculando elemento a 11:
cos alpha cos beta + (-sin alpha)sin beta = cos alphacos beta - sin alphasin beta = cos(alpha+beta)
Elemento a 12:
cos alpha(-sin beta) + (-sin alpha)cos beta = -l(cos alphasin beta + sin alphacos betar) = -sin(alpha+beta)
Elemento a 21:
sin alphacos beta + cos alphasin beta = sin(alpha+beta)
Elemento a 22:
sin alpha(-sin beta) + cos alphacos beta = -sin alphasin beta + cos alphacos beta = cos(alpha+beta)
Portanto
TalphaTbeta = cos(alpha+beta) & -sin(alpha+beta) sin(alpha+beta) & cos(alpha+beta) = Talpha+beta

Passo 3

Para (b), substituímos alphato -alpha em Talpha. Como
cos(-alpha)=cosalpha, sin(-alpha)=-sinalpha,
segue
T-alpha = cos(-alpha) & -sin(-alpha) sin(-alpha) & cos(-alpha) = cosalpha & sinalpha -sinalpha & cosalpha

Passo 4

Para (c), lembramos que uma matriz M é ortogonal se M^TM=I. Note que a transposta de Talpha é
Talpha^T = cosalpha & sinalpha -sinalpha & cosalpha = T-alpha
Logo
Talpha^TTalpha = T-alphaTalpha = T-alpha+alpha = T0 = 1&00&1 = I
Assim Talpha é ortogonal e seu inverso é Talpha^-1=T-alpha=Talpha^T.

Resposta

(a) .
(b)
(c) é ortogonal pois .

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