Seja T: R^3 longrightarrow R^3 a transformação linear que na base canônica de R^3 é representada pela matriz
A=[rrr -1 & -4 & 14 2 & -7 & 14 2 & -4 & 11 ]
Calcule o polinômio característico de T;

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de T, isto é, de sua matriz A na base canônica de R^3. O polinômio característico de uma matriz A de ordem 3 é dado por
p(lambda)=detl(A-lambda Ir),
onde I é a matriz identidade 3times3. Vamos montar A-lambda I e calcular seu determinante.

Passo 2

Escrevendo
A - lambda I = -1-lambda & -4 & 14 2 & -7-lambda & 14 2 & -4 & 11-lambda ,
temos
p(lambda) =det! -1-lambda & -4 & 14 2 & -7-lambda & 14 2 & -4 & 11-lambda

Passo 3

Fazendo a expansão pelo primeira linha, definimos os menores:
M11 =det-7-lambda & 14 -4 & 11-lambda =( -7-lambda)(11-lambda)+56 =lambda^2 -4lambda -21,
M12 =det2 & 14 2 & 11-lambda =2(11-lambda)-28 =-2(lambda+3),
M13 =det2 & -7-lambda 2 & -4 =-8+2(7+lambda) =2(lambda+3)
Logo, por expansão,
p(lambda) =(-1-lambda),M11 -(-4),M12 +14,M13

Passo 4

Substituindo os menores:
p(lambda) =(-1-lambda)(lambda^2-4lambda-21) +4l[-2(lambda+3)r] +14l[2(lambda+3)r]
Distribuindo e somando termos semelhantes resulta
p(lambda) =-lambda^3+3lambda^2+45lambda+81

Resposta

p(lambda)=-lambda^3+3lambda^2+45lambda+81

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