Considere uma matriz M=(mi j)1 <= i, j <= 3 de ordem 3 definida da seguinte forma: os coeficientes das diagonais principal e secundária são iguais a alpha e os demais coeficientes são -1 se i<j e 1 se i>j. Nestas condições, podemos afirmar que:
a) a matriz M é invertível para todo alpha in R.
b) o determinante de M é igual a zero.
c) a matriz M^2 é invertível se alpha neq 0.
d) se alpha=1, então o determinante de M é igual a 5 .
e) se alpha=-1, então o determinante de M^2 é igual a 25.

Passo 1

O enunciado define uma matriz M=(mij)1<= i,j<=3 de ordem 3 em que
mii=alpha (elementos da diagonal principal),
mi,,4-i=alpha (elementos da diagonal secundária),
– nos demais, mij=-1 se i<j e mij=1 se i>j.
O que precisamos: calcular det M, estudar a invertibilidade de M e de M^2, e verificar cada alternativa.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente
M = alpha & -1 & alpha 1 & alpha & -1 alpha & 1 & alpha ,
onde os alpha estão nas posições (1,1),(2,2),(3,3) e (1,3),(2,2),(3,1), e os outros elementos seguem a regra dada.

Passo 3

Usando a expansão por Sarrus ou Laplace, obtemos
det M = alphal(alpha^2-(-1)cdot1r) ;-;(-1)l(1cdotalpha-(-1)cdotalphar) ;+;alphal(1cdot1-alphacdotalphar)
Isso simplifica a
det M = alpha(alpha^2+1) + (,alpha+alpha,) + alpha(1-alpha^2) = 4alpha

Passo 4

Uma matriz é invertível exatamente quando seu determinante é não nulo. Logo
M é invertível iff 4alphaneq0iffalphaneq0.
– Como det(M^2)=(det M)^2=(4alpha)^2, segue que M^2 é invertível iffalphaneq0.

Passo 5

Analisando as alternativas:
a) Falsa, pois det M=4alpha anula-se em alpha=0.
b) Falsa, det Mneq0 para alphaneq0.
c) Verdadeira, M^2 é invertível sempre que alphaneq0.
d) Falsa, para alpha=1 tem-se det M=4neq5.
e) Falsa, para alpha=-1 tem-se det(M^2)=(4cdot(-1))^2=16neq25.

Resposta

c)

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