Considere uma matriz de ordem 3 definida da seguinte forma: os coeficientes das diagonais principal e secundária são iguais a e os demais coeficientes são -1 se e 1 se . Nestas condições, podemos afirmar que:
a) a matriz é invertível para todo .
b) o determinante de é igual a zero.
c) a matriz é invertível se .
d) se , então o determinante de é igual a 5 .
e) se , então o determinante de é igual a 25.
Passo 1
O enunciado define uma matriz de ordem 3 em que
– (elementos da diagonal principal),
– (elementos da diagonal secundária),
– nos demais, se e se .
O que precisamos: calcular , estudar a invertibilidade de e de , e verificar cada alternativa.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente
onde os alpha estão nas posições (1,1),(2,2),(3,3) e (1,3),(2,2),(3,1), e os outros elementos seguem a regra dada.
Passo 3
Usando a expansão por Sarrus ou Laplace, obtemos
det M = alphal(alpha^2-(-1)cdot1r) ;-;(-1)l(1cdotalpha-(-1)cdotalphar) ;+;alphal(1cdot1-alphacdotalphar)
Isso simplifica a
det M = alpha(alpha^2+1) + (,alpha+alpha,) + alpha(1-alpha^2) = 4alpha
Passo 4
Uma matriz é invertível exatamente quando seu determinante é não nulo. Logo
– M é invertível iff 4alphaneq0iffalphaneq0.
– Como det(M^2)=(det M)^2=(4alpha)^2, segue que M^2 é invertível iffalphaneq0.
Passo 5
Analisando as alternativas:
a) Falsa, pois det M=4alpha anula-se em alpha=0.
b) Falsa, det Mneq0 para alphaneq0.
c) Verdadeira, M^2 é invertível sempre que alphaneq0.
d) Falsa, para alpha=1 tem-se det M=4neq5.
e) Falsa, para alpha=-1 tem-se det(M^2)=(4cdot(-1))^2=16neq25.