Considere uma matriz M=(mi j)1 <= i, j <= 3 de ordem 3 definida da seguinte forma: os coeficientes das diagonais principal e secundária são iguais a alpha e os demais coeficientes são -1 se i<j e 1 se i>j. Nestas condições, podemos afirmar que: a matriz M^2 é invertível se alpha neq 0.

Passo 1

O enunciado define uma matriz MinR^3times3 cujo critério de invertibilidade é det(M)neq0. Além disso, sabemos que, para qualquer matriz quadrada A, vale
detl(A^2r)=l[det(A)r]^2
Logo, M^2 é invertível se e somente se det(M)neq0.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente M=(mij). Pelas regras:
  • mii=alpha para i=1,2,3 (diagonal principal).
  • m1,3=m2,2=m3,1=alpha (diagonal secundária).
  • Se i<j e (i,j) não está na diagonal secundária, então mij=-1.
  • Se i>j e (i,j) não está na diagonal secundária, então mij=1.
Assim,
M= alpha & -1 & alpha 1 & alpha & -1 alpha & 1 & alpha

Passo 3

Calculemos det(M) por expansão na primeira linha:
det(M) =alpha detalpha & -11 & alpha -(-1) det1 & -1alpha & alpha +alpha det1 & alphaalpha & 1
Cada determinante menor vale
detalpha & -11 & alpha =alpha^2+1, det1 & -1alpha & alpha =2alpha, det1 & alphaalpha & 1 =1-alpha^2
Substituindo,
det(M) =alpha(alpha^2+1)+1cdot(2alpha)+alpha(1-alpha^2) =4alpha

Passo 4

Como det(M)=4alpha, temos det(M)neq0iffalphaneq0. Portanto M é invertível exatamente quando alphaneq0, e então
det(M^2)=l[det(M)r]^2=(4alpha)^2
é não nulo se e somente se alphaneq0. Logo, M^2 é invertível sempre que alphaneq0.

Resposta

A afirmação é verdadeira: M^2 é invertível se, e somente se, alphaneq0.

Exercícios relacionados