Se uma matriz triangular tem um zero na diagonal principal, o que acontece com seu determinante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes triangulares e o determinante delas. Então, a gente precisa entender dois conceitos principais: matriz triangular e determinante. Pra resolver isso, vamos lembrar que em uma matriz triangular (pode ser superior ou inferior), o determinante é o produto dos números que estão na diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma matriz triangular. É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zeros. Por exemplo, numa matriz triangular superior, todos os números abaixo da diagonal são zero.

Passo 3

Agora, sobre o determinante de uma matriz triangular. Uma das propriedades legais das matrizes triangulares é que o determinante delas é simplesmente o produto dos elementos que estão na diagonal principal. Isso significa que, se você tiver uma matriz triangular como esta:
a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f
O determinante será a times d times f .

Passo 4

A questão menciona que há um zero na diagonal principal. Vamos pensar no que acontece com o determinante aí. Se um dos números que estamos multiplicando é zero, o resultado de todo o produto vai ser zero. Por exemplo, se d = 0 , então a times d times f = a times 0 times f = 0 .

Passo 5

Portanto, quando uma matriz triangular tem pelo menos um zero na diagonal principal, o determinante dela vai ser zero. Isso indica que a matriz é singular, ou seja, não tem inversa.

Resposta

O determinante da matriz é zero.

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