Considere a matriz particionada (bloco triangular inferior). Encontre A^-1.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a matriz particionada em blocos
A=A11 & 0 & 0 A21 & A22 & 0 A31 & A32 & A33
que é triangular inferior. O conteúdo é inversão de matrizes em bloco; vamos usar que a inversa de uma matriz triangular inferior também é triangular inferior e determinar os blocos resolvendo a condição A^-1A=I.
Passo 2
Vamos supor que
A^-1=B11 & 0 & 0 B21 & B22 & 0 B31 & B32 & B33
A seguir, impomos A^-1A=I e usamos produto de matrizes em blocos para encontrar cada Bij.
Passo 3
Blocos diagonais: da equação em (1,1) vem
B11A11=Iimplies B11=A11^-1,
da equação em (2,2) vem
B22A22=Iimplies B22=A22^-1,
e em (3,3):
B33A33=Iimplies B33=A33^-1
Passo 4
Bloco (2,1): da equação de (2,1) no produto A^-1A=I temos