Considere a matriz particionada cccA11 & 0 & 0 A21 & A22 & 0 A31 & A32 & A33 (bloco triangular inferior). Encontre A^-1.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a matriz particionada em blocos
A=A11 & 0 & 0 A21 & A22 & 0 A31 & A32 & A33
que é triangular inferior. O conteúdo é inversão de matrizes em bloco; vamos usar que a inversa de uma matriz triangular inferior também é triangular inferior e determinar os blocos resolvendo a condição A^-1A=I.

Passo 2

Vamos supor que
A^-1=B11 & 0 & 0 B21 & B22 & 0 B31 & B32 & B33
A seguir, impomos A^-1A=I e usamos produto de matrizes em blocos para encontrar cada Bij.

Passo 3

Blocos diagonais: da equação em (1,1) vem
B11A11=Iimplies B11=A11^-1,
da equação em (2,2) vem
B22A22=Iimplies B22=A22^-1,
e em (3,3):
B33A33=Iimplies B33=A33^-1

Passo 4

Bloco (2,1): da equação de (2,1) no produto A^-1A=I temos
B21A11+B22A21=0
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B21=-B22A21A11^-1=-A22^-1A21A11^-1

Passo 5

Bloco (3,2): da equação de (3,2) vem
B32A22+B33A32=0
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B32=-B33A32A22^-1=-A33^-1A32A22^-1

Passo 6

Bloco (3,1): da equação de (3,1) se obtém
B31A11+B32A21+B33A31=0
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B31=-l(B32A21+B33A31r)A11^-1 = A33^-1(A32A22^-1A21-A31)A11^-1

Resposta

A^-1= A11^-1 & 0 & 0 -,A22^-1A21A11^-1 & A22^-1 & 0 A33^-1(A32A22^-1A21-A31)A11^-1 & -,A33^-1A32A22^-1 & A33^-1

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