Considere a matriz particionada:
A=[cc|ccc 4 & 2 & 1 & 0 & -2 2 & 2 & -1 & -1 & 0 hline 1 & -1 & 3 & 1 & -2 0 & -1 & 1 & 9 & 2 -2 & 0 & -2 & 2 & 6 ]
a) Faça a decomposição L D U de A.
b) Calcule a inversa e o determinante de A usando as propriedades de matrizes particionadas.

Passo 1

O enunciado pede para decompor a matriz A particionada em L D U usando blocos, e depois usar essa decomposição (ou as fórmulas de bloco) para achar A⁻¹ e det(A). Vamos precisar usar o bloco principal A₁₁, seu inverso, definir U₁₂, L₂₁, calcular o complemento de Schur S, e então montar L, D, U, A⁻¹ e det(A).

Passo 2

Separamos A em blocos 2×2, 2×3, 3×2 e 3×3: A₁₁= 4&22&2, A₁₂= 1&0&-2-1&-1&0, A₂₁= 1&-10&-1-2&0 e A₂₂= 3&1&-21&9&2-2&2&6. Calculamos det(A₁₁)=4 e
inverso A₁₁^-1=142&-2-2&4=1/2&-1/2-1/2&1.

Passo 3

Calculamos U₁₂= A₁₁^-1A₁₂=1&1/2&-1-3/2&-1&1 e L₂₁= A₂₁A₁₁^-1=1&-3/21/2&-1-1&1.

Passo 4

O complemento de Schur é S= A₂₂-L₂₁A₁₂=1/2&-1/2&0-1/2&8&30&3&4. Assim a decomposição em blocos é
L=I2&0L21&I3, D=A11&00&S, U=I2&U120&I3

Passo 5

Para a inversa, calculamos det(S)=21/2 e S⁻¹= 46/21&4/21&-1/74/21&4/21&-1/7-1/7&-1/7&5/14. Então det(A)=det(A₁₁)det(S)=4·(21/2)=42.

Passo 6

Usando a fórmula de bloco para A⁻¹, obtemos
A^-1=A11^-1+U12S^-1L21&-U12S^-1-S^-1L21&S^-1,
e, após multiplicar, cada bloco fica:
Top‐left= 26/7&-36/7-36/7&163/21,
Top‐right= -17/7&-3/7&4/776/21&13/21&-5/7,
Bot‐left= -17/7&76/21-3/7&13/214/7&-5/7,
Bot‐right= 46/21&4/21&-1/74/21&4/21&-1/7-1/7&-1/7&5/14.

Resposta

Decomposição LDU (em blocos):
L= 1&0&0&0&0 0&1&0&0&0 1&-3/2&1&0&0 1/2&-1&0&1&0 -1&1&0&0&1 ,
D= 4&2&0&0&0 2&2&0&0&0 0&0&1/2&-1/2&0 0&0&-1/2&8&3 0&0&0&3&4 ,
U= 1&0&1&1/2&-1 0&1&-3/2&-1&1 0&0&1&0&0 0&0&0&1&0 0&0&0&0&1 .
Inversa e determinante:
A^{-1}= 26/7&-36/7&-17/7&-3/7&4/7 -36/7&163/21&76/21&13/21&-5/7 -17/7&76/21&46/21&4/21&-1/7 -3/7&13/21&4/21&4/21&-1/7 4/7&-5/7&-1/7&-1/7&5/14 ,
det(A)=42.

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