a) Faça a decomposição L D U de A.
b) Calcule a inversa e o determinante de A usando as propriedades de matrizes particionadas.
Passo 1
O enunciado pede para decompor a matriz A particionada em L D U usando blocos, e depois usar essa decomposição (ou as fórmulas de bloco) para achar A⁻¹ e det(A). Vamos precisar usar o bloco principal A₁₁, seu inverso, definir U₁₂, L₂₁, calcular o complemento de Schur S, e então montar L, D, U, A⁻¹ e det(A).
Passo 2
Separamos A em blocos 2×2, 2×3, 3×2 e 3×3: A₁₁=4&22&2, A₁₂=1&0&-2-1&-1&0, A₂₁=1&-10&-1-2&0 e A₂₂=3&1&-21&9&2-2&2&6. Calculamos det(A₁₁)=4 e
inverso A₁₁^-1=142&-2-2&4=1/2&-1/2-1/2&1₁₁.
Passo 3
Calculamos U₁₂=A₁₁^-1A₁₂=1&1/2&-1-3/2&-1&1₁₁₁₂ e L₂₁=A₂₁A₁₁^-1=1&-3/21/2&-1-1&1₂₁₁₁.
Passo 4
O complemento de Schur é S=A₂₂-L₂₁A₁₂=1/2&-1/2&0-1/2&8&30&3&4₂₂₂₁₁₂. Assim a decomposição em blocos é
L=I2&0L21&I3, D=A11&00&S, U=I2&U120&I3
Passo 5
Para a inversa, calculamos det(S)=21/2 e S⁻¹=46/21&4/21&-1/74/21&4/21&-1/7-1/7&-1/7&5/14. Então det(A)=det(A₁₁)det(S)=4·(21/2)=42.
Passo 6
Usando a fórmula de bloco para A⁻¹, obtemos
A^-1=A11^-1+U12S^-1L21&-U12S^-1-S^-1L21&S^-1,
e, após multiplicar, cada bloco fica:
Top‐left=26/7&-36/7-36/7&163/21,
Top‐right=-17/7&-3/7&4/776/21&13/21&-5/7,
Bot‐left=-17/7&76/21-3/7&13/214/7&-5/7,
Bot‐right=46/21&4/21&-1/74/21&4/21&-1/7-1/7&-1/7&5/14.