Sejam A e D não singulares. Mostre que ccA & B 0 & D é da forma ccA^-1 & X 0 & D^-1 e encontre X.
Mostre, ainda, que llA & 0 C & D é da forma ccA^-1 & 0 Y & D^-1 e encontre Y.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos que calcular a inversa de duas matrizes em blocos triangulares (superior e inferior). O conteúdo principal é a inversa de matrizes em blocos, e vamos precisar usar a multiplicação de matrizes particionadas e a condição de que M,M^-1=I.

Passo 2

No caso da matriz triangular superior, definimos
M=A & B[4pt]0 & D, M^-1=A^-1 & X[4pt]0 & D^-1
Multiplicando em blocos e igualando à identidade:
M,M^-1=A A^-1+Bcdot0 & A X+B D^-1[4pt]0cdot A^-1+Dcdot0 & 0cdot X+D D^-1 =I & A X+B D^-1[4pt]0 & I
Para ficar igual a I, precisamos de A X+B D^-1=0, o que dá
X=-A^-1B D^-1

Passo 3

No caso da matriz triangular inferior, definimos
N=A & 0[4pt]C & D, N^-1=A^-1 & 0[4pt]Y & D^-1
Multiplicando em blocos (por exemplo N N^-1) e igualando a I:
N N^-1=A A^-1+0cdot Y & Acdot0+0cdot D^-1[4pt]C A^-1+D Y & Ccdot0+D D^-1 =I & 0[4pt]C A^-1+D Y & I
Daí C A^-1+D Y=0, e assim
Y=-D^-1C A^-1

Resposta

Para a matriz triangular superior temos X=-A^-1B D^-1. Para a matriz triangular inferior temos Y=-D^-1C A^-1.

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