O que a gente precisa provar é que o determinante dessa matriz det(A) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, a11 times a22 times a33 . Para isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes e entender como eles funcionam para matrizes triangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes, como se a matriz é invertível ou não. Para matrizes 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de co-fatores, mas tem umas propriedades que facilitam a nossa vida.
Passo 3
Uma dessas propriedades é que se uma matriz é triangular (ou seja, toda a parte abaixo ou acima da diagonal principal é zero), o determinante dela é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Isso porque, nas matrizes triangulares, não há complicação com os outros elementos que possam interferir no cálculo do determinante.
Passo 4
No caso da nossa matriz A , ela é triangular superior porque todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Então, pelo que a gente disse, o determinante vai ser só o produto dos elementos na diagonal:
det(A) = a11 times a22 times a33
Passo 5
Para ter certeza, vamos ver rapidinho com a regra de co-fatores. Expandindo o determinante pela primeira linha, vai ficar:
det(A) = a11 times det(cc a22 & a23 0 & a33 ) - a12 times 0 + a13 times 0
Como os outros termos têm zeros, sobra só:
det(A) = a11 times (a22 times a33 - 0) = a11 times a22 times a33