Considere a matriz
A=(ai j)i, j=[ccc a11 & a12 & a13 0 & a22 & a23 0 & 0 & a33 ]
Prove que det(A)=a11 a22 a33.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. A matriz é assim:
A=(ai j)i, j=[ccc a11 & a12 & a13 0 & a22 & a23 0 & 0 & a33 ]
O que a gente precisa provar é que o determinante dessa matriz det(A) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, a11 times a22 times a33 . Para isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes e entender como eles funcionam para matrizes triangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes, como se a matriz é invertível ou não. Para matrizes 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de co-fatores, mas tem umas propriedades que facilitam a nossa vida.

Passo 3

Uma dessas propriedades é que se uma matriz é triangular (ou seja, toda a parte abaixo ou acima da diagonal principal é zero), o determinante dela é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Isso porque, nas matrizes triangulares, não há complicação com os outros elementos que possam interferir no cálculo do determinante.

Passo 4

No caso da nossa matriz A , ela é triangular superior porque todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Então, pelo que a gente disse, o determinante vai ser só o produto dos elementos na diagonal:
det(A) = a11 times a22 times a33

Passo 5

Para ter certeza, vamos ver rapidinho com a regra de co-fatores. Expandindo o determinante pela primeira linha, vai ficar:
det(A) = a11 times det(cc a22 & a23 0 & a33 ) - a12 times 0 + a13 times 0
Como os outros termos têm zeros, sobra só:
det(A) = a11 times (a22 times a33 - 0) = a11 times a22 times a33

Resposta

Portanto, det(A) = a11 times a22 times a33 .

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