Considere a matriz
M=[ccc 1 & 2 & 0 -2 & x & 0 x & 0 & x ]
Para quais valores de x tem-se det M>0?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo a questão. A gente tem uma matriz M de ordem 3x3:
M=[ccc 1 & 2 & 0 -2 & x & 0 x & 0 & x ]
O que a questão pede é descobrir para quais valores de x o determinante dessa matriz é maior que zero, ou seja, det M > 0 . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de determinante de matrizes, especificamente para matrizes de 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. A fórmula geral é:
det M = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
M = a & b & c d & e & f g & h & i
No nosso caso, identificando os elementos da matriz M :
  • a = 1
  • b = 2
  • c = 0
  • d = -2
  • e = x
  • f = 0
  • g = x
  • h = 0
  • i = x

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do determinante com esses valores:
det M = 1 cdot (x cdot x - 0 cdot 0) - 2 cdot (-2 cdot x - 0 cdot x) + 0 cdot (-2 cdot 0 - x cdot x)
Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo: 1 cdot (x cdot x - 0) = x^2
  • Segundo termo: -2 cdot (-2x - 0) = -2 cdot (-2x) = 4x
  • Terceiro termo: 0 cdot (qualquer coisa) = 0

Passo 4

Então, somando tudo:
det M = x^2 + 4x + 0 = x^2 + 4x
Agora, queremos saber para quais valores de x esse determinante é maior que zero:
x^2 + 4x > 0

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade quadrática x^2 + 4x > 0 . Primeiro, vamos encontrar os valores de x onde x^2 + 4x = 0 :
x(x + 4) = 0 Rightarrow x = 0 ou x = -4
Esses são os pontos onde a expressão muda de sinal. Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos:
  1. Intervalo x < -4 :
    Escolha x = -5 :
    (-5)^2 + 4(-5) = 25 - 20 = 5 > 0
  2. Intervalo -4 < x < 0 :
    Escolha x = -2 :
    (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4 < 0
  3. Intervalo x > 0 :
    Escolha x = 1 :
    1^2 + 4(1) = 1 + 4 = 5 > 0

Resposta

Portanto, o determinante det M é maior que zero para os valores de x que estão nos intervalos:
x < -4 ou x > 0

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